Комплекные числа

КОМПЛЕКСНЫЕ Ч�?СЛА. ДЕЙСТВ�?Я НАД Н�?М�?

Автор - Коробова Н.Ю. МфХГТУ.

Смотри также: программа перевода комплексных чисел из одной формы в другую

            Комплексным числом называется выражение вида z = a + bi, где a, b - любые действительные числа, i - мнимая единица, удовлетворяющая условию i²  =  -1. При этом обозначают a  = Re z - действительную часть числа, b = Im z - мнимую его часть.

            Запишем  основные соглашения:

      1. Действительное число a записывается также в виде a + 0i .

      2. Чисто мнимое число bi, т.е. 0 + bi .

 1. Два комплексных числа  z₁ = a + bi  и  z₂  = c + di считаются равными, если a = c и b = d.

      1. Число  называется сопряженным числу  z = a + bi.

Арифметические  действия  над  комплексными  числами

            Суммой комплексных чисел z₁ = a + bi и z₂ = c + di называется комплексное число , т.е.

 .

            По этому правилу найдем сумму комплексных чисел  z₁ = 2 + (-1)i  и z₂ = -1 + 3i:

.                     

            Сложение комплексных чисел обладает свойствами :

                        коммутативности:   z₁+ z₂ = z₂ + z_1;

                               ассоциативности:  .         

            Докажем, например, коммутативный закон сложения комплексных чисел. �?меем

и

.

            Следовательно,

.

            Произведением комплексных чисел z₁ = a + bi и z₂ = c + di называется комплексное число . Определение произведения уста­нав­ли­вается с таким расчетом, чтобы  (a + bi) и (c + di) можно было пе­ремножить как алгебраические двучлены, считая при этом, что i² = -1.     Найдем произведение комплексных чисел z₁ = 2 - 3i и z₂ = -4 + 2i:

 .

            Умножение комплексных чисел обладает свойствами :

                        коммутативности:  z₁ × z₂ = z₂ × z_1;

                               ассоциативности: ;

                        дистрибутивности: .

            Предлагаем студентам самостоятельно доказать свойства умножения и сложения.

            На основании правила умножения комплексных чисел можно определить натуральную степень комплексного числа как  . Легко показать, что  

            Найдем произведение комплексного числа на число, сопряженное ему:

,

 т.е. получаем в результате действительное число.

            Разностью комплексных чисел z₁ = a + bi и z₂ = c + di называется комп­лек­сное число .

            Найдем разность комплексных чисел :

.

            Частным от деления комплексного числа z₁ на комплексное число z₂ на­зывается такое число z, которое удовлетворяет условию z× z₂ = z₂ × z= = z₁.

             На практике частное находится так : .

            Найдем частное чисел :

КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСТЬ

            Рассмотрим декартову систему координат x0y. Пусть каждому числу z = a + bi ставится в соответствие точка z (a; b) . Такую плоскость назовем комплексной. �?ными словами с каждой точ­кой z этой плоскости связывают радиус-век­тор, определяющий положение данной точ­­ки (рис. 2). �?з рис. 2 видно, что . Угол между положительным на­правлением оси 0х и радиусом-век­то­ром, отсчитанным в направлении против часо­вой стрелки, называется аргументом. Ось 0х на­зывается действительной осью комплексной плоскости, ось 0y называ­ет­ся мнимой осью комплексной плоскости. Аргумент может принимать зна­чения из интервала . Наименьшее по модулю значение ар­гумента называется главным и обозначается .

            �?з рис. 2 видно, что , ,  . Чтобы найти аргу­мент, необходимо учитывать, в какой четверти комплексной плоскос­ти находится число:

            I    квадрант    ;

            II   квадрант    ;

            III квадрант     ;

            IV квадрант      .

            Найдем модуль и аргумент комплексного числа :

,

так как   квад­ранту.

Тригонометрическая форма записи комплексного числа

            Модуль и аргумент j можно  рассматривать как полярные координа­ты , . Тогда от алгебраической записи комплексного числа мо­жем перейти к тригонометрической:

, где .

            Запишем число  в тригонометрической форме:

,

если z1 принадлежит III квадранту следовательно, ;

.

            Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме, тогда произведение и частное чисел можно найти так :

;

.

            Умножение комплексных чисел имеет следующий геометрический смысл (рис. 3): если не­которому комплексному числу  соответствует вектор  , а другому комплексному числу  век­­тор , то произведению  соответствует вектор , получившийся из вектора  поворотом на угол j₂ и  растяжением в  раз при или сжатием  в  при .

            Операция деления комплексных чисел так­же может быть интерпретирована геометри­чески (рис. 4), как сочетание операций поворота и сжатия: пусть теперь комплексному числу  соответствует вектор , а другому комплексному числу  вектор , тогда можно утверждать, что частному от деления  соответствует вектор , получив­шийся из вектора  поворотом на угол j₂ в отрицательном направ­лении и сжатием  в  раз при или растяжением  в  при .

Возведение комплексного числа в ЦЕЛУЮ СТЕПЕНЬ

            Пусть дано комплексное число . Для возведения комплексного числа в натуральную степень нужно возвести в эту степень его модуль, а аргумент умножить на показатель степени. Это правило известно в математике как формула Муавра:

.

            �?спользуя эту формулу, возведем в 30-ю степень комплексное число . Предварительно преобразуем число:

 z принадлежит I квадранту следовательно  .

            Запишем число в тригонометрической форме

и возведем его в степень, используя формулу Муавра:

.

            С помощью формулы Муавра можно вывести формулы для выражения тригонометрических функций кратного аргумента через функции данного аргумента. Рассмотрим частные случаи . Пусть модуль числа z равен единице, тогда формула Муавра примет вид

.

            При n = 2, возведя левую часть формулы в квадрат, получим

 ,

откуда будем иметь известные формулы

  .

            При n = 3 имеем

,

откуда получаем

.

�?звлечение корня

            Корнем n-й степени (n принадлежит N, n ³ 2) из числа z называется любое комплексное число u, для которого uⁿ  =  z . Операция нахождения всех корней n-й степени из числа z называется извлечением корня.

            Для нахождения всех корней n-й степени будем использовать следующую формулу:

.

            Корень n-й степени имеет n значений . Найдем корень 3-й степени из ком­плексного числа . Как и в § 5, преобразуем число z в три­го­но­мет­ри­чес­кую форму:

 z принадлежит II квадранту следовательно, .

, тогда имеем

 ;

 ;

;

;

            Геометрическая интерпретация корней W₀, W₁, W₂ да­на на рис. 5 в виде вершин правильного треугольни­ка, вписанного в окружность  с центром в на­чале коор­динат .

Показательная ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО Ч�?СЛА

            Пусть некоторое комплексное число записано в тригонометрической форме , тогда в показательном виде его можно представить как . Если приравняем оба полученных числа и сократим на r, то получим уравнение, которое называется формулой  Эйлера и показывает, что выражения и  име­ют одну и ту же логическую сущность .

            Формулы умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня записываются следующим образом :

;  ;  ;

;  , где к = 0, 1, 2, ..., (n - 1).

            Найдем произведение и частное чисел :

; 

 .

Решение КВАДРАТНЫХ УРАВНЕН�?Й

            Запишем квадратный трехчлен в общем виде

kx²  +  px  +  q  = 0,

где k,  p,  q - действительные числа. �?з курса элементарной математики известно, что если D > 0, то уравнение имеет два действительных корня, а если D = 0, то один. Случай при D<0 в элементарной математике не рассматривается, а просто делается вывод, что корней нет. Однако с использованием комплексных чисел можно доопределить множество решений квадратного трехчлена при D < 0. Если это так, то будем говорить, что уравнение имеет комплексные корни. При этом обозначают  и корни находят по формуле

.

            Решим квадратное уравнение x² - 4x + 13 = 0. Дискриминант  этого урав­не­ния выражен отрицательным числом D = 16 - 52 = -36 < 0, по­э­то­му уравнение будет иметь два комплексных корня

 ,

откуда находим .