Здесь, разумеется, можно нарисовать (попробуйте сами) два более точных графа, используя понятия лупы и моноида.

 Абелева группа есть группа (A, (c)), в которой для любых двух элементов a, b О A имеет место a  (c) b = b (c) a. При одинаковом порядке элементов в заглавной строке и заглавном столбце таблица операции абелевой группы симметрична относительно главной диагонали.
 
 

Циклическая группа. Группа называется циклической, если она содержит элемент, множество степеней которого исчерпывает всю группу.

Если группа G содержит две такие подгруппы A и B, что каждый элемент gО G можно единственным образом представить в виде g  = a b, где a О  A и b О B, и для любых элементов a О A и b О B имеет место a b = b a, то группу G называют прямым произведением подгрупп A и B и пишут: G= A ╢  B. Аналогично определяется прямое произведение нескольких подгрупп группы G.

Теорема Лагранжа. ЕслиA - подгруппа конечной группыG, то пGп делится нацело на п Aп.

Следствием этой теоремы является тот факт, что порядок любого элемента конечной группы служит делителем порядка группы. Другое следствие состоит в том, что группа простого порядка является циклической.

Примарной группой (p-группой) называется группа, порядки всех элементов которой являются степенями некоторого заданного простого числа p.

Элементарной группой называется группа, в которой порядок каждого элемента, отличного от единичного, есть некоторое заданное простое число. Очевидно, всякая элементарная группа является p-группой.

Нормальный делитель. Подгруппа N группы G называется нормальным делителем группы G, если для каждого элемента x О G множество N x = {nxп n О N} совпадает с множеством x N = {xnп n О N}. Это записывается в виде N > G.

Инвариантный элемент. Элемент c группы G называется инвариантным, если он перестановочен с каждым элементом группы G, т.е. если c x = x c, для всякого x О G.

Центр группы. Инвариантные элементы группы G образуют ее нормальный делитель Z(G), называемый центром этой группы.

Теорема. Если порядок группы является степенью простого числа, то ее центр содержит элементы, отличные от единичного элемента.

Сопряженные элементы группы. Два элемента a и b  группы G называются сопряженными, если существует такой элемент g , что a g =  g b, т.е. если g^-1 a g = b. Говорят также, что a получается трансформацией элемента b элементом g . Если g^-1a g = a, то элемент a называется инвариантным относительно трансформации элементом g.

Сопряженная подгруппа. Если для подгрупп A и B группы G найдется такой элемент g О G, что A g =  g B, т.е. g^-1A g = B, то подгруппа B называется сопряженной подгруппе A в G. Говорят также, что подгруппа B получается трансформацией подгруппы A элементом g. Если g^-1A g = A, то подгруппа A называется инвариантной относительно трансформации элементом g. Поскольку нормальный делитель группы инвариантен относительно трансформации любым ее элементом, то его называют также инвариантной подгруппой группы.
 
 

Покажем сейчас на примере, как понятия теории групп позволяют сжато выражать некоторые геометрические факты. Чертеж слева ( где P - фиксированная точка, t - фиксированная прямая, X - переменная точка, пробегающая множество всех точек плоскости) приводит нас к следующей теореме. Результат последовательного отражения точки X относительно прямой t, полученного образа относительно точки P и этого нового образа опять относительно прямой t совпадает с результатом отражения точки X относительно точки P╒ , симметричной точке P относительно прямой t. Сформулируем этот факт в терминах группы движений плоскости. Отражение относительно точки P обозначим через p . Очевидно, p ² = 1, т.е. p = p^-1. Аналогично, обозначив отражение относительно прямой t через t , получаем, что t ² = 1, откуда t ^-1 = t . Теперь наше геометрическое утверждение о трех последовательных отражениях может быть выражено следующей формулой: p╒  = t ^-1p t. Чертеж справа показывает, что три последовательных отражения - относительно точки P, затем прямой t и, наконец, снова точки P - равносильны отражению относительно прямой t╒, симметричной прямой t относительно точки P. Это можно выразить формулой: t ╒  = p ^{-1t p}.
 
 

Кроме того, легко проверить, что условие принадлежности точки P прямой t равносильно условию p t  = t p . Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что в первом случае условие t ^-1p t  = p   означает совпадение точек P и P╒ , тогда как во втором случае условие p^{-1t p}  = t означает совпадение прямых t и t╒.

Преимущества языка теории групп становятся особенно убедительными, если выраженные на этом языке геометрические понятия и отношения попытаться выразить также средствами аналитической геометрии. Например:
 
 

Теорема Силова. Если порядок конечной группы делится на степень p^r простого числа p, то эта группа имеет подгруппу порядка p^r.

Силовская подгруппа. Если ╫ G╫  = p^k s и s не делится на p, то подгруппы порядка p^k группы G называются силовскими p-подгруппами.

Следствие 1. Если порядок конечной группы делится на простое число p, то в группе имеется элемент порядка p.

Следствие 2. Порядок любой конечной p-группы является степенью числа p.

Основная теорема об абелевых группах. Любая конечная абелева группа разлагается в прямое произведение циклических групп, порядки которых являются степенями простых чисел; множество степеней простых чисел, являющихся порядками указанных групп, однозначно определяется порядком самой группы.

Это надо понимать следующим образом: если , то можно указать такие циклические группы A₁, A₂, . . . , A_k порядков , соответственно, что. Отсюда следует, что конечная абелева группа однозначно определяется с точностью до изоморфизма конечным набором степеней простых чисел.

Пусть даны множество H = {1, 2, . . . , n} и группа подстановок G этого множества. Стабилизатором элемента x ОH называется следующая подгруппа группы G :
 
 

Орбитой элемента x относительно группы G называется множество xG  = { xp ╫ p О G }. В обоих случаях через xp   обозначается элемент, в который подстановка p переводит x.

Группа подстановок G множества H называется регулярной, если для каждого x О H имеет место G_x = 1.

Конечной целью собственно теории групп является описание всех возможных групповых операций. Теория групп распадается на ряд больших разделов, выделяемых чаще всего дополнительными условиями на групповую операцию или внесением в группу дополнительных структур, связанных определенным образом с групповой операцией. Перечислим важнейшие разделы теории групп.

а) Теория конечных групп. Основная проблема этой старейшей ветви теории групп - классификация так называемых простых конечных групп, играющих роль ╚строительных блоков╩ при построении произвольной конечной группы.

б) Теория абелевых групп. Отправной точкой многих исследований в этой области служит основная теорема о конечно порожденных абелевых группах, полностью выясняющая их строение.

в) Теория разрешимых и нильпотентных групп. Понятие разрешимой группы является обобщением понятия абелевой группы. Оно, по существу, идет от Э. Галуа и тесно связано с разрешимостью уравнений в радикалах.

г) Теория групп преобразований. Понятие группы возникло исторически именно как понятие группы преобразований, но в дальнейшем было освобождено от этой конкретной оболочки. Тем не менее теория групп преобразований осталась важной частью общей теории. Типичный вопрос в ней: какими абстрактными свойствами обладает группа, заданная как группа преобразований некоторого множества? Особое внимание привлекают, в частности, группа подстановок и группа.

Д) Теория представлений групп - важное орудие изучения абстрактных групп. Представление абстрактно группы в виде некоторой конкретной группы (например, в виде группы подстановок или матриц) позволяет проводить тонкие вычисления и с их помощью обнаруживать важные абстрактные свойства. Особенно велики успехи теории представлений в теории конечных групп, где с ее помощью получен ряд результатов, недоступных пока абстрактным методам.

Е) Из разделов теории групп, выделяемых внесением в группы дополнительных структур, согласованных с групповой операцией, отметим теорию топологических групп (в них групповая операция в некотором смысле непрерывна), в частности ее старейшую ветвь - теорию групп Ли.

Теория групп является одной из самых развитых областей алгебры и имеет многочисленные применения как в самой математике, так и за ее пределами. Например, с помощью теории групп Е. С. Федоров (1890) решил задачу классификации правильных пространственных систем точек, являющуюся одной из основных задач кристаллографии. Это был исторически первый случай применения теории групп непосредственно в естествознании. Большую роль играет теория групп в физике, например, в квантовой механике, где широко используются соображения симметрии и теория представлений групп линейными преобразованиями.

Историческая справка. Понятие группы послужило во многих отношениях образцом при перестройке математики на рубеже 19-20 вв. Истоки понятия группы обнаруживаются в нескольких дисциплинах, главная из которых - теория решений алгебраических уравнений в радикалах. В 1771 году Ж. Лагранж и А. Вандермонд впервые для нужд этой теории применили подстановки. Затем в ряде работ П. Руффини (1799 и позднее), посвященных доказательству неразрешимости уравнения 5-ой степени в радикалах, систематически используется замкнутость множества подстановок относительно их умножения и, по существу, описаны подгруппы всех подстановок пяти символов. Глубокие связи между свойствами групп подстановок и свойствами уравнений были установлены Н. Абелем (1824) и Э. Галуа (1830). Э. Галуа принадлежат и многие достижения собственно в теории групп: открытие роли так называемых нормальных подгрупп в связи с задачей о разрешимости уравнений в радикалах, установление свойства простоты знакопеременных групп степени n Ё  5 и др.; он же ввел термин ╚группа╩ (le groupe), хотя и не дал строгого определения. Важную роль в систематизации и развитии теории групп сыграл трактат К. Жордана (1870) о группах подстановок.

Независимо и из других соображений идея групп возникла в геометрии, когда в середине 19 в. На смену единой античной геометрии пришли многочисленные ╚геометрии╩ и остро встал вопрос об установлении связей и родства между ними. Выход из создавшегося положения был намечен исследованиями по проективной геометрии, посвященными изучению поведения фигур при различных преобразованиях. Постепенно интерес в этих исследованиях перешел на изучение самих преобразований и поиск их классификации. Таким ╚изучением геометрического родства╩ много занимался А. Мебиус. На более сознательном уровне классификацию геометрий дал А. Кэли (1854 и далее), он явно пользовался термином ╚группа╩, систематически использовал таблицы умножения, ныне называемые таблицами Кэли, доказал представимость всякой конечной группы подстановками. Заключительным этапом на этом пути явилась ╚Эрлангенская программа╩ Ф. Клейна (1872), положившая в основу классификации геометрий понятие группы преобразований: каждая геометрия определяется некоторой группой преобразований пространства, и только те свойства фигур принадлежат к данной геометрии, которые инвариантны относительно преобразований соответствующей группы. (См. Также Классическая группа).

Третий источник понятия группы - теория чисел. Уже Л. Эйлер (1761), изучая ╚вычеты, остающиеся при делении степеней╩, по существу пользовался сравнениями и разбиениями на классы вычетов, что на теоретико-групповом языке означает разложение группы на смежные классы по подгруппе. К. Гаусс в ╚Арифметических исследованиях╩ (1801), занимаясь уравнением деления круга, фактически определил подгруппы его группы Галуа. Там же, изучая ╚композицию двоичных квадратичных форм╩, К. Гаусс, по существу, доказывает, что классы эквивалентных форм образуют относительно композиции конечную абелеву группу.

Осознание в конце 19 века принципиального единства теоретико-групповых идей, существовавших к тому времени независимо в разных областях математики, привело к выработке современного абстрактного понятия групп. (С. Ли, Г. Фробениус и др.). Так, уже в 1895 С. Ли определял группу как совокупность преобразований, замкнутую относительно их композиции, удовлетворяющей условиям 1), 2), 3). Изучение групп без предположения их конечности и без каких бы то ни было предположений о природе элементов впервые оформилось в самостоятельную область математики с выходом книги О. Ю. Шмидта ╚Абстрактная теория групп╩ (1916).