1. Числа

1.1. Натуральные числа.

Множество N $\ = \{ 1,2,3,4,... \}$ всех натуральных чисел может быть описано индуктивно: $1\in$ N и если $m\in$N, то $m+1\in$N. Отсюда вытекает

1.1.1. Принцип математической индукции.

Пусть имеется набор утверждений E(n) для всех $n\in$ N. Если утверждение E(1) справедливо и для каждого натурального n из справедливости E(n) вытекает справедливость E(n+1), то утверждение E(m) справедливо для всех $m\in$ N.

1.1.2. Эквивалентной формулировкой для принципа математической индукции является следующее утверждение:

В любом непустом множестве M, состоящем из натуральных чисел, есть наименьший элемент, то есть такое натуральное число $m\in M$ , что $m \leq n$ для любого $n\in\ M$ .

1.1.3. Операции сложения (+) и умножения ( $\cdot$ ) натуральных чисел обладают следующими свойствами:

(ЗС) если $x,y\in$ N, то $x+y\in$ N

(замкнутость N относительно сложения);

(ЗУ) если $x,y\in$ N, то $x\cdot y\in$ N

(замкнутость N относительно умножения);

(АС) если $x,y,z\in$ N, то (x+y)+z = x+(y+z)

(ассоциативность сложения в N);

(АУ) если $x,y,z\in$ N, то (xy)z = x(yz)

(ассоциативность умножения в N);

(КС) если $x,y\in$ N, то x+y = y+x

(коммутативность сложения в N);

(КУ) если $x,y\in$ N, то xy = yx

(коммутативность умножения в N);

(ЛД) если $x,y,z\in$ N, то x(y+z) = xy+xz

(левая дистрибутивность);

(ПД) если $x,y,z\in$ N, то (x+y)z = xz+yz

(правая дистрибутивность);

(СЕ) в N существует единичный элемент, то есть такой элемент $e\in$ N, что для любого $x\in$ N имеет место равенство:

xe = ex = x

(существование единицы );

Таким элементом в N служит 1.

1.2 Кольцо целых чисел.

1.2.1. Множество Z = { 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3,... } целых чисел содержит N как подмножество. Так же как и N, множество Z замкнуто относительно сложения и умножения; операции сложения и умножения в Z ассоциативны, коммутативны и для них выполнены законы дистрибутивности.

Кроме того, для Z выполнено свойство:

(СЕ) В Z существует единичный элемент, то есть такой элемент $e\in$ Z, что для любого $x\in$ Z имеет место равенство:

xe = ex = x

(существование единицы);

и аналогичное ему свойство для сложения:

(СН) в Z существует нулевой элемент, то есть такой элемент $n\in$Z, что для любого $x\in$Z имеет место равенство:

x+n = n+x = x

(существование нуля ); Таким элементом в Z служит 0. Отметим еще одно свойство операции сложения в Z: (СП) Для любого элемента a из Z найдется такой элемент $x\in$ Z, что

a+x = x+a = n

(существование противоположного элемента ). Этот элемент в Z равен -a.

1.2.2. В дальнейшем нам будут встречаться и другие объекты, для которых определены операции сложения и (или) умножения (многочлены, векторы, операторы, матрицы и т.д.), причем часть из отмеченных выше свойств будут выполняться и для них. В зависимости от того, какая часть этих свойств выполнена, объекты разбиваются на типы с общим названием.

В частности, множество, на котором определены операции сложения и умножения называется кольцом, если выполнены свойства (ЗС) и (ЗУ) замкнутости этих операций, свойства ассоциативности (АС), коммутативности (КС), существования нуля (СН) и существования противоположного элемента (СП) для сложения, а также ассоциативность умножения (АУ) и оба закона дистрибутивности (ПД) и (ЛД). При этом обычно элемент n, определяемый свойством (СН) (легко заметить, что двух разных элементов с таким свойством в кольце быть не может), обозначается символом 0 и называется нулем кольца.

Если к тому же выполнено (КУ), то кольцо называется коммутативным, а если выполнено свойство (СЕ) и (единственный!) элемент e, определяемый этим свойством, отличен от 0, то этот элемент обозначается символом 1 и называется единицей кольца, а само кольцо называется кольцом с единицей.

Таким образом, Z -- коммутативное кольцо с единицей.

1.3. Поля рациональных и вещественных (действительных) чисел.

1.3.1. Множество Q $\ = \{p/q \mid p\in$ Z, $q\in$ N $, q\neq 0\}$ всех рациональных чисел (дробей), где

$$p/q = m/n \Longleftrightarrow pn = qm$$

и дробь n/1 отождествляется с числом n, содержит Z в качестве собственного подмножества. Так же как и в Z, сложение и умножение в Q обладает перечисленными выше свойствами замкнутости, ассоциативности, коммутативности, выполнены свойства существования нуля и противоположного элемента. Кроме того, для ненулевых рациональных чисел операция умножения обладает свойством, аналогичным существованию противоположного элемента для сложения, а именно, свойством (СО) если $a\in$ Q, $a \neq 0$, то существует такой элемент $x\in$ Q, что

xa = ax = 1

(существование обратного элемента ). Ясно, что таким обратным элементом для a = p/q служит x = 1/a = a = q/p.

1.3.2. Любое множество k, для которого определены операции сложения и умножения, называется полем, если эти операции удовлетворяют законам, перечисленным в пункте 1.3.1, то есть законам: (ЗС) если $x,y\in k$, то $x+y\in k$ (замкнутость k относительно сложения); (ЗУ) если $x,y\in k$, то $xєy\in k$ (замкнутость k относительно умножения); (АС) если $x,y,z\in k$, то (x+y)+z = x+(y+z) (ассоциативность сложения в k); (АУ) если $x,y,z\in k$, то (xєy)єz = xє(yєz) (ассоциативность умножения в k); (КС) если $x,y\in k$, то x+y = y+x (коммутативность сложения в k); (КУ) если $x,y\in k$, то xєy = yєx (коммутативность умножения в k); (ЛД) если $x,y,z\in k$, то x(y+z) = xy+xz (левая дистрибутивность); (ПД) если $x,y,z\in k$, то (x+y)z = xz+yz (правая дистрибутивность); (СН) В k существует нулевой элемент, то есть такой элемент $n\in k$, что для любого $x\in k$ имеет место равенство:

x+n = n+x = x

(существование нуля). Этот элемент обозначается знаком 0. (СЕ) В k существует единичный элемент, то есть такой элемент $e\in k$, отличный от 0, что для любого $x\in k$ имеет место равенство:

xe = ex = x

(существование единицы). Этот элемент обозначается знаком 1. (СП) Для любого элемента $a \in k$ найдется такой элемент $x\in k$, что

a+x = x+a = n

(существование противоположного элемента). Этот элемент записывается как -a. (СО) Если $a\in k, a\neq 0$, то существует такой элемент $x\in k$, что

xa = ax = 1

(существование обратного элемента). Этот элемент x записывается как a^-1 или как 1/a. Таким образом, в любом поле, как и в поле Q рациональных чисел, можно неограниченно складывать, вычитать и умножать элементы, а также делить на ненулевые элементы. Всегда в результате получится некоторый элемент этого поля. Кратко можно сказать, что поле -- это коммутативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент обратим. Таким образом, Q -- поле (поле рациональных чисел).

1.3.3. Легко проверить, что множество R вещественных (действительных) чисел относительно обычных операций сложения и умножения вещественных чисел является полем. Это множество часто отождествляют с множеством точек числовой прямой (числовой оси), то есть прямой, для которой указано положительное направление, на которой отмечен отрезок единичной длины и зафиксирована точка 0. При этом вещественное число x отождествляется с точкой X числовой оси, находящейся на расстоянии $\mid x\mid$ от точки 0. Точка X находится в положительном направлении от 0, если $x\geq 0$, и в отрицательном, если x < 0. В отличие от поля Q, поле R замкнуто относительно извлечения корней натуральной степени из положительных элементов, то есть для любого положительного $a\in$ R и любого $n\in$ N в R есть элемент x, для которого xⁿ = a.

1.3.4. Еще один пример поля представляет множество F , состоящее из двух элементов n и e, сложение и умножение которых задается следующими таблицами:

+	e	n
e	n	e
n	e	n

$\cdot$	e	n
e	e	n
n	n	n

Элемент n является нулем этого поля, а e -- единицей. Поле F играет важную роль в машинных вычислениях.

1.3.5. Упражнение. Написать таблицы сложения и умножения для полей, состоящих из 3, 4 и 5 элементов.

1.3.6. Задача. Доказать, что нет поля, состоящего из 6 элементов.

1.3.7. Упражнение. Доказать, что множество Q $(\sqrt{2}) = \{ a+b\sqrt{2} \mid a,b\in$ Q$\}$ является полем относительно обычных операций сложения и умножения чисел, содержит Q, содержится в R , но не совпадает ни с Q, ни с R.

1.4. Поле комплексных чисел

Рассмотрим плоскость с декартовой системой координат. Ось абсциисс отождествим с числовой осью. Тогда любую точку плоскости можно задать координатами этой точки, то есть упорядоченной парой (a,b) вещественных чисел. При этом пара (a,0) есть вещественное число a числовой оси. Обозначим множество всех точек нашей плоскости через C. Таким образом, C $= \{ (a,b)\mid a,b \in$ R$\}$. Определим на C операции сложения и умножения равенствами

(a,b)+(c,d) = (a+c,b+d),

(a,b)є(c,d) = (ac-bd,ad+bc).

1.4.1. Теорема. C -- поле относительно этих операций, содержащее поле R вещественных чисел. В C есть элемент i, для которого i² =-1. Любой элемент из C представим в виде a+bi, где $a,b \in$R.

Доказательство. Непосредственно проверяются свойства поля. В частности, нулем поля служит (0,0), то есть вещественное число 0, противоположный элемент -(a,b) равен (-a,-b), единица поля равна точке (1,0) -- вещественному числу 1, обратный элемент к элементу $(a,b) \neq (0,0) = 0$ равен $(\frac{a}{a^2 +b^2}, \frac{-b}{a^2 +b^2}).$ Кроме того, на элементах числовой оси сложение и умножение, определенное в C, совпадает с обычным сложением и умножением вещественных чисел, и имеет место равенство a(c,d) = (ac,ad), если a -- любое вещественное число. Положим i=(0,1). Тогда i² = -1 и (a,b) = a+bi. Теорема доказана.

1.4.2. Множество C с определенными выше операциями сложения и умножения называется полем комплексных чисел, его элементы называются комплексными числами, элемент i --мнимой единицей, а ось ординат, то есть множество R $i = \{ ai=(0,a) \mid a\in$R$\}$ -- мнимой осью. Ось абсцисс (числовую ось) называют вещественной (действительной) осью. Для комплексного числа (a,b)=a+bi вещественное число a называется вещественной частью этого комплексного числа, а вещественное число b -- его мнимой частью.

1.4.3. Число $\overline{z} = a-bi$ называется числом, комплексно сопряженным с z = a+bi. Для комплексно сопряженных чисел всегда выполнены равенства

$$\overline{z_1z_2} = \overline{z_1}\cdot\overline{z_2},$$

$$\overline{z_1 +z_2} = \overline{z_1} +\overline{z_2}.$$

Кроме того, если z = a+bi, то $z\overline{z} = a^2+b^2 \geq 0$. Арифметический квадратный корень из $z\overline{z}$ называется модулем комплексного числа z и обозначается через $\mid z \mid$. Таким образом,

$$z\overline{z} = \mid z \mid^2$$

и

$$z^{-1} = \overline{z}/ \vert z\vert^2 .$$

Кроме того,

$$\mid z_1z_2 \mid = \mid z_1 \mid \mid z_2 \mid$$

Модуль числа z = a+bi равен расстоянию от точки z =(a,b) до начала координат. Поэтому

$$\mid z_1+z_2 \mid \leq \mid z_1 \mid + \mid z_2 \mid .$$

Для точек вещественной оси наше определение модуля совпадает с обычным определением абсолютной величины вещественного числа.

1.4.4. Угол между положительным направлением действительной оси и отрезком, соединяющим начало координат с точкой (a,b) называется аргументом комплексного числа a+bi. Для 0 аргумент не определяется, а для остальных комплексных чисел он определен с точностью до величины, кратной полному обороту окружности. Если $\alpha$ -- аргумент комплексного числа z = a+bi , то $a = \mid z \mid \cos\alpha ,\ b = \mid z \mid \sin\alpha$ , то есть $z = \mid z \mid (\cos\alpha + \sin\alpha )$ . Такая форма записи комплексного числа называется его тригонометрической формой . Модуль и аргумент комплексного числа однозначно определяют это число. Если модуль числа равен 0, то число равно 0. Два ненулевых комплексных числа равны, если их модули совпадают, а разность их аргументов равна $2k\pi$ для некоторого $k\in$Z .

1.4.5. Если аргументы чисел z₁ и z₂ равны $\alpha$ и $\beta$ , то

$$z_1z_2 = \mid z_1 \mid \mid z_2 \mid (\cos(\alpha + \beta ) + i\sin(\alpha + \beta ))$$

и, в частности, аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей. Из этого равенства вытекает, что для $n\in$ N

$$(\mid z \mid (\cos\alpha + i\sin\alpha ))^n = \mid z \mid ^n(\cos n\alpha + i\sin n\alpha ),$$

откуда вытекает, что уравнение

$$z^n = u = \mid u \mid (\cos\gamma + i\sin\gamma )$$

при заданном комплексном числе $u \neq 0$ имеет в C ровно n решений

$$z = \mid r \mid (\cos\alpha_s + i\sin\alpha_s ), s = 0,1,...,n-1,$$

где r -- арифметический корень степени n из $\mid u \mid$, а $\alpha_s\ = (\gamma +2s\pi)/n$. Эти формулы для извлечения корней из комплексных чисел иногда называют формулами Муавра.

1.4.6. Упражнение. Доказать, что все корни уравнения zⁿ = 1 расположены на комплексной плоскости в вершинах правильного n-угольника, вписанного в единичную окружность, одна из вершин которого находится в точке (0,1).

1.4.7. Любое подмножество C, являющееся полем относительно заданных выше в C операций сложения и умножения, называется числовым полем.

Упражнения. а) Доказать, что любое числовое поле, содержащее R совпадает с R или с C. б) Доказать, что Q $(i) = \{a+bi \mid a,b\in$ Q$\}$ является числовым полем, не содержащимся в R и не совпадающим с C.