2.1. Векторное пространство строк.
2.1.1. Пусть k -- произвольное поле. Его элементы будем называть скалярами. Пусть -- множество всех строк (a1 ,a2 ,...,an ) длины n, заполненных элементами из k. По определению (a1 ,a2 ,...,an ) = (b1 ,b2 ,...,bn ) тогда и только тогда, когда a1 =b1 , a2 =b2 ,..., an =bn. Определим операции сложения строк и умножения строки на скаляр формулами (СС) (a1 ,a2 ,...,an )+(b1 ,b2 ,...,bn ) = (a1 +b1 ,a2 +b2 ,...,an +bn ), (УС) c(a1 ,a2 ,...,an ) = (ca1 ,ca2 ,...,can ). Множество kn с операциями (СС) и (УС) называется векторным пространством n-мерных строк или векторным пространством строк длины n над полем k.
Примеры. 1. k1 = k, если строку отождествить с элементом . При этом сложение и умножение на скаляр в k1 совпадает со сложением и умножением в поле k. 2. C = R2 , если рассматривать только операции сложения комплексных чисел и умножение комплексных чисел (a,b) на скаляры R.
2.1.2. Из определения видно, что сложение строк подчинено
законам ассоциативности, коммутативности, существования
нулевого элемента и противоположного элемента.
В частности, нулевым элементом для сложения строк служит
нулевая строка
2.1.3. Векторные пространства строк не исчерпывают всю совокупность объектов, для которых выполнены законы из предыдущего пункта. Например множество всех многочленов с вещественными коэффициентами, так же как и множество всех вещественных непрерывных функций относительнно обычным образом определенных операций сложения и умножения на вещественное число подчинены тем же законам. Это служит обоснованием для следующего определения.
2.2. Абстрактное векторное пространство.
Произвольное множество V, в котором определены операции сложения и умножения на скаляры из поля k ( то есть, для каждых двух элементов определен элемент , и для каждого скаляра и каждого элемента определен элемент ), называется векторным пространством над полем k, если эти операции подчинены законам из пункта 2.1.2, то есть для операции сложения: (АС) если , то (x+y)+z = x+(y+z) (ассоциативность сложения в V); (КС) если , то x+y = y+x (коммутативность сложения в V); (СН) в V существует нулевой элемент, то есть такой элемент , что для любого имеет место равенство: x+n = n+x = x (существование нуля). Этот элемент обозначается знаком o (чтобы отличить его от нуля 0 поля k). (СП) Для любого элемента a из V найдется такой элемент , что a+x = x+a = o (существование противоположного элемента). Этот элемент x записывается как -a. Для операций умножения на скаляры: При всех и всех имеют место равенства (1) a(u+v) = (au)+(av), (2) ao = o, (3) (a+b)u = (au)+(bu), (4) (ab)u = a(bu), (5) 1u = u (здесь 1 -- единичный элемент поля k), (6) 0u = o (здесь 0 -- нулевой элемент поля k). Элементы векторного пространства называются векторами.
2.3. Линейные комбинации векторов.
Пусть V -- произвольное векторное пространство над
произвольным полем k.
Линейной комбинацией векторов
с
коэффициентами
называется вектор
2.3.1. Пример. Пусть V = kn ,
2.3.2. Линейная комбинация a1 v1 +a2 v2 +...+as vs называется тривиальной линейной комбинацией, если все ее коэффициенты a1 ,a2 ,...,as равны 0. Тривиальная линейная комбинация векторов всегда равна o. Линейная комбинация a1 v1 +a2 v2 +...+as vs называется нетривиальной линейной комбинацией, если среди ее коэффициентов a1 ,a2 ,...,as найдется хотя бы один, отличный от 0, то есть если эта комбинация не является тривиальной.
2.3.3. Множество , элементами которого служат все линейные комбинации векторов v1 ,v2 ,...,vs, называется линейной оболочкой векторов v1 ,v2 ,...,vs или линейной оболочкой набора векторов (отметим, что из-за коммутативности сложения оболочка не зависит от нумерации векторов в наборе).
2.3.4. Пример. Если взять векторы v1 ,v2 ,...,vn из примера 2.3.1, то их линейная оболочка совпадает со всем пространством: L(v1 ,v2 ,...,vn ) = kn.
2.3.5. Скажем, что вектор v линейно выражается через векторы v1 ,v2 ,...,vs (или через набор ), если v равен какой-нибудь линейной комбинации векторов v1 ,v2 ,...,vs , то есть если . Скажем, что набор векторов (назовем его первым набором) линейно выражается через другой набор (назовем его вторым набором), если каждый вектор первого набора линейно выражается через второй набор.
2.3.6. Пример. Вектор линейно выражается через векторы v1 ,v2 примера 2.3.1 при любых a и b из k, а вектор (1,1,1,...,1) не выражается через эти векторы, если n>2. С другой стороны, любой вектор из kn выражается через векторы v1 , v2 ,..., vn примера 2.3.1.
2.3.7. Ясно, что o выражается через любой непустой набор векторов. Чтобы сделать это свойство универсальным, договоримся считать, что o выражается и через пустой набор векторов, то есть через набор, не содержащий ни одного вектора. Более того, будем считать, что оболочка пустого набора векторов совпадает с множеством , единственным элементом которого является o. Будем в связи с этим считать, что пустой набор векторов выражается через любой набор.
2.3.8. Скажем, что набор векторов линейно зависим, если o является нетривиальной линейной комбинацией этого набора. Таким образом, векторы v1 ,v2 ,...,vs линейно независимы, если равенство a1 v1 +a2 v2 +...+as vs = o для означает, что a1 =a2 =...=as =0.
2.3.9. Пример. Векторы (-2,-3,0), (2,0,0), (0,-2,0) из Q3 линейно зависимы, поскольку 2(-2,-3,0)+2(2,0,0)-3(0,-2,0) = (0,0,0), а векторы v1 ,v2 ,...,vn из примера 2.3.1 линейно независимы.
2.3.10. Говорят, что два набора векторов эквивалентны, если их линейные оболочки совпадают. Различные связи между всеми введенными в этом параграфе понятиями устанавливает следующая теорема.
2.3.11. Теорема. а) Если L -- оболочка некоторого набора
векторов,
и
, то
Доказательство. а) Пусть
L = L(v1 ,v2 ,...,vs ),
u = a1 v1 +a2 v2 +...+as vs , v = b1 v1 +b2 v2 +...+bs vs.
Тогда
б) Пусть
Обозначим
L(u1 ,u2 ,...,us ) через
через
.
Докажем необходимость первого утверждения индукцией по s.
Если s=1, то по условию
, откуда по а) для любого
линейная комбинация au принадлежит
,
что и означает
включение
.
Если теперь s>1
и
,
то по индукции
и
,
откуда по а)
.
Это означает, что
.
Докажем достаточность первого утверждения. Пусть
.
Покажем, что каждый вектор ui из набора
принадлежит
,
откуда и будет следовать, что он принадлежит
,
то есть линейно выражается через .
Имеем
2.3.12. Упражнение. Доказать, что набор
В дальнейшем такие преобразования наборов будем называть
элементарными преобразованиями. При этом будем говорить что
активную роль в первом преобразовании играет вектор ui , а во
втором -- вектор uj . Остальные векторы играют
пассивную роль.
2.3.13. Задачи. 1. Доказать, что элементарными преобразованиями
из предыдущего упражнения можно любой набор
превратить в эквивалентный ему набор вида
,
где векторы
v1,...,vr линейно
независимы.
2. Доказать, что любой линейно независимый набор
элементарными преобразованиями можно превратить в любой наперед
заданный эквивалентный ему линейно независимый набор.
2.3.14. Пусть
-- конечный набор векторов векторного
пространства. Базой набора
называется линейно независимая
часть набора ,
эквивалентная всему .
Число векторов в базе
набора называется рангом набора.
Теорема. а) Следующие утверждения эквивалентны:
(1) -- база набора ,
(2) -- максимальная линейно независимая часть ,
(3) -- минимальная часть , для которой
.
б) Любая линейно независимая часть набора содержится в
некоторой базе набора. Все базы одного набора эквивалентны.
Ранг набора не зависит от выбора конкретной базы.
2.3.15. Подпространством пространства V над полем k называется
любое непустое подмножество S множества V, замкнутое
относительно операций векторного пространства V:
для любых векторов
и любого
векторы a+b и
ca
содержатся в S (другими словами, линейная оболочка любого
конечного набора векторов из S лежит в S).
Примеры: 1) Линейная оболочка набора векторов --
подпространство.
2)
и V -- подпространства пространства V (их называют
несобственными подпространствами пространства V, а все
остальные -- собственными).
3) Пусть
.
Тогда S --
подпространство пространства kn.
4) Пусть
.
Тогда S не
является подпространством пространства kn .
Отметим, что любое подпространство пространства V само
является пространством относительно операций, заданных в V.
2.4. Конечномерные пространства.
2.4.1. Пространство V называется конечномерным, если V --
линейная оболочка конечного набора своих векторов.
Примеры. 1) kn -- конечномерное пространство.
2) Пространство многочленов с вещественными коэффициентами
бесконечномерно (не является конечномерным).
2.4.2. Базой (или базисом) пространства V называется
упорядоченный набор векторов
2.4.3. Примеры.
1. Набор
2.4.4. Теорема. Пусть V -- конечномерное векторное
пространство,
-- набор векторов из V.
а) Следующие утверждения эквивалентны:
1) -- база V.
2) -- максимальный линейно независимый набор векторов из
V.
3) -- минимальный набор векторов из V, для которого
.
б) V обладает по меньшей мере одной базой, более того,
любой линейно независимый набор векторов из V содержится в
некоторой базе V (в частности, база любого подпространства V
содержится в некоторой базе V). Все базы одного пространства
эквивалентны. Размерность пространства не зависит от выбора
конкретной базы.
в) Если
, то любые n+1 векторов из V линейно
зависимы, любой линейно независимый набор из n векторов
пространства V -- база пространства V, размерность любого
подпространства из V не превосходит n.
г) Если
-- база V, то
отображение
, ставящее в соответствие вектору его координатную
строку в базе , является взаимно однозначным отображением V
на
kn , сохраняющим операции, то есть обладающим свойствами:
Доказательство -- простое применение теоремы 2.3.11.
2.4.5. Матрица набора векторов.
Упорядоченный набор
,
состоящий из
координатных строк некотрых векторов
v1 ,v2 ,...,vm в некоторой
базе
некоторого пространства
размерности n
над k называется матрицей набора
в базе
.
Обычно матрицу записывают в виде прямоугольной таблицы,
размещая строки по порядку одна под другой.
Вообще,
-матрицей (или матрицей размера ) над
множеством Sназывается прямоугольная таблица вида
Преобразованием матрицы набора векторов относительно s-го
столбца называется следующая процедура:
1. Если ни одна строка матрицы не проявляется в s-м
столбце, то на этом процедура заканчивается.
2. Если существует строка, которая проявляется в s-ом
столбце, то возьмем первую такую, скажем, строку
Алгоритм Гаусса: Преобразуем матрицу набора векторов
относительно 1-го столбца, затем преобразованную матрицу
преобразуем относительно 2-го столбца, полученную матрицу --
относительно 3-го и.т.д., пока не переберем все столбцы. В
результате матрица заменится на эквивалентную и для каждого
столбца в матрице будет не более одной строки, которая
проявляется в этом столбце.
2.4.7. Упражнение: Покажите, что векторы vi набора
,
для которых в
преобразованной по Гауссу матрице этого набора i-я строка отлична от
нулевой, составляют базу набора
,
а ненулевые
строки преобразованной матрицы являются координатными строками
(в той же базе )
некоторой базы
.
2.4.8. Упражнение: Для каждой матрицы набора векторов
существует эквивалентная ей матрица, имеющая ступенчатый вид.
Он определяется условием: нулевые строки (если они есть)
стоят после всех ненулевых строк, и если ненулевая строка
матрицы проявляется в s-ом столбце, то все ненулевые строки с
бльшими номерами проявляются в столбцах с номерами, бльшими
s.
2.4.9. Матрица перехода от базы к базе.
Пусть V -- конечномерное векторное пространство над k и
2.4.10. Упражнения: Пусть A -- матрица перехода от базы
к базе
.
1. Пусть [v] -- координатная строка вектора v в базе .
Построим
-матрицу:
2.4.11. Пересечение
двух подпространств некоторого
пространства является подпространством, которое содержится и в
A, и в B. Суммой подпространств A и B называется множество
.
Сумма подпространств A и B является
подпространством, содержащим и A, и B.
2.4.12. Упражнения. 1.
или
.
2. Для любых наборов векторов
и
одного пространства
2.4.13. Теорема. Пусть A и B -- подпространства конечномерного
пространства. Тогда
Доказательство. Пусть
-- база .
Дополним ее
векторами
us+1 ,...,ur до базы A, а векторами
vs+1 ,...,vn
-- до
базы B. Тогда
-- база A+B, то есть
2.4.14. Сумму подпространств можно определить для любого числа
слагаемых: если Vi -- подпространство некоторого пространства
(i
= 1,2,...,s), то суммой подпространств Aiназывается
подпространство
2.4.15. Прямая сумма подпространств.
Важным частным случаем
суммы подпространств является прямая сумма, база которой
является объединением баз слагаемых.
Теорема-определение. Следующие свойства суммы подпространств
эквивалентны:
а) Каждый элемент v из S однозначно представим в виде
v =
a1 +a2 +...+as: если
Доказательство. а)
б), поскольку б) -- частный случай а), а
если выполнено б) и
a1 +a2 +...+as = a'1+a'2+...+a's, где
,
то
и
,
откуда
ai -a'i =0 и ai =a'i.
б)
в). Пусть
.
Тогда
,
где
, откуда
0 = a1 +...+aj-1
+(-aj )+aj+1 +...+as и,
значит, все слагаемые в этой сумме по условию равны 0. В
частности, v=aj =0.
в)
г). Пусть
-- объединение баз
. Поскольку
,
достаточно доказать линейную независимость набора .
Пусть w
-- линейная комбинация набора ,
равная 0. Тогда
,
где
wi -- слагаемое линейной комбинации w, являющееся линейной
комбинацией набора
с коэффициентами, равными соответствующим
коэффициентам линейной комбинации w. Тогда для любого j
2.4.16. Примеры.
1. Пусть V = kn. . Если n = s+t, где
,
то
,
где
2.4.17. Внешняя прямая сумма пространств.
Пусть U и V -- два
пространства над полем k. Пусть
--
множество,
состоящее из всех упорядоченных пар, первые компоненты которых
являются векторами из U, а вторые -- векторами из V. Определим
на W операции сложения и умножения на скаляр из k формулами:
2.4.18. Пример. Пусть
. Тогда
,
если
пару
из
отождествить со
строкой
(a1 ,a2 ,...,an ,b1 ,b2
,...,bm ) длины m+n.
2.4.19. Определение внешней прямой суммы легко распространить на
любое число слагаемых. Например,
слагаемых),
где k отождествляется с k1.
2.5. Фактор-пространство.
Пусть A -- подпространство пространства V. Если ,
то
множество
называется смежным классом по
пространству A с представителем v. Заметим, что
Пример. Пусть
.
Если v=(1,1), то
.
Теорема. Определим сложение и умножение на скаляр
элементов V/A формулами:
Доказательство -- упражнение на проверку определений.
2.6. Линейные отображения векторных пространств.
2.6.1. Пусть V и U -- два векторных пространства над полем k.
Отображение
,
ставящее в соответствие каждому вектору v
из V некоторый вектор
из U, называется линейным
отображением (или оператором) векторного пространства V в
векторное пространство U, если для любых
и
верны
равенства:
2. Отображение ,
ставящее в соответствие любому
многочлену его производную, является линейным отображением
векторного пространства V всех многочленов с вещественными
коэффициентами в V.
3. Нулевое отображение V в U, ставящее в соответствие
каждому вектору v из V вектор ,
линейно.
4. Пусть
.
Тогда
является
линейным отображением V на U1, а
является
линейным отображением V на U2. Каждое из этих отображений
называется проекцией прямой суммы на соответствующее слагаемое.
5. Пусть A и B -- подпространства в пространстве
--
внешняя прямая сумма A и B. Тогда
является
линейным отображением V в U.
6. Если
-- база V и
--
любой набор векторов из U, то существует, и притом
единственное, линейное отображение
пространства V в U, для
которого
при всех i.
7. Если A -- подпространство пространства V, то
является линейным отображением V на фактор-пространство V/A.
1. Если
-- линейное отображение, то
и
для любого вектора a. Доказать.
2. Пусть
-- линейное отображение пространства V.
Доказать, что для любого набора векторов
из
V ранг набора
не превосходит ранга .
3. Пусть
-- линейно независимый набор векторов из
-- набор векторов из U. Доказать, что
существует линейное отображение
пространства V в U, для которого
при всех i. Доказать.
4. Пусть
-- линейное отображение пространства km в
пространство kn. Пусть A -- матрица, строки ai которой --
некоторые элементы km. Обозначим через
матрицу, составленную
из строк
(в том же порядке ). Составим матрицу
(ее первые m столбцов составляют матрицу A, а последние n
столбцов -- матрицу .
Доказать следующее утверждение:
Если элементарными преобразованиями строк эта матрица
приведена к виду [B|C], (вертикальная линия на том
же месте), то
.
б)
.
в)
.
г)
(сокращенная запись для
).
д)
.
Доказательство. Непосредственная проверка.
Как обычно, матрицу линейного отображения записывают в
виде прямоугольной таблицы, размещая строки по порядку одна под
другой и присваивая каждому элементу таблицы двойной индекс.
В частности, определенная выше матрица
-- это
-матрица над k, элемент с номером ij которой равен
коэффициенту, стоящему при uj в выражении вектора
через
базу .
2. Пусть
,
а
и
-- проекции V на соответствующие прямые
слагаемые. Пусть
-- база
- база U2 и
-- база V, где
vi=(ai,o) при
при i>m.
Тогда
,
где E -- единичная
матрица размера ,
а O -
нулевая матрица размера ,
5. Пусть A -- подпространство пространства
линейное отображением V на фактор-пространство V/A. Если
-- база
-- база
V, включающая эту базу A, и
-
соответствующая база V/A, то матрица
относительно
равна
,
где O -- нулевая матрица размерности r, а E -- единичная
матрица размерности n-r.
Теорема доказана.
Пусть
.
Ядром отображения
называется множество
(kernel (лат.) -- ядро, сердцевина). Образом
называется множество
image (англ., фр.) -
образ).
б) -- подпространство пространства U (его размерность
называется рангом ).
в) Сумма ранга и дефекта равна размерности V.
г) Ранг совпадает с рангом набора строк матрицы
(относительно любой пары баз).
в). Пусть
-- база
-- база
.
Покажем, что
-- база V. Если ,
то
.
Если
то
откуда
и, значит, все
равны o, после чего
,
то есть и все
равны 0.
г) Пусть
-- база
-- база U. Поскольку
совпадает с линейной оболочкой векторов
,
ранг
совпадает с рангом набора
,
который, в
свою очередь, совпадает с рангом набора
координатных строк в базе ,
то есть с
рангом набора строк
.
Теорема доказана.
2.6.8. Упражнения. 1. Пусть
-- база пространства
-- линейное отображение V и пусть нумерация vi-х выбрана
так, что
-- база набора
.
Доказать, что
а)
-- база ;
б) база
может быть получена так:
каждый из векторов
выразим через :
2. Вывести из пункта 1 следующий практический способ
нахождения баз ядра и образа:
Пусть A -- матрица линейного отображения
относительно
пары баз
.
Составим матрицу [E A], где E -- единичная
матрица с тем же числом строк, что и у A. Элементарными
преобразованиями строк приведем ее к виду
,
где строки
матрицы I линейно независимы, O -- нулевая матрица, раздел по вертикали --
на прежнем месте. Тогда I
состоит из координатных строк (в базе
некоторой базы ,
а K
-- из координатных строк (в базе
некоторой базы
.
3. Пусть A -- подпространство пространства V. Доказать, что
.
4. Пусть A и B -- подпространства в пространстве
-- линейное отображение внешней прямой суммы V
подпространств A и B в
-- проекция V на первое слагаемое.
Доказать, что
.
5. Вывести из пунктов 4, 2 и примеров пункта 2.6.5 следующий
практический способ нахождения базы :
Пусть A и B -- подпространства в пространстве U = ks с
базами
и
.
Составим
-матрицу
то есть
a1 =b1 ,a2 =b2 ,...,as =bs.
г) Набор, состоящий из одного вектора u, линейно зависим
тогда и только тогда, когда u = o. Набор, часть векторов
которого линейно зависима, сам линейно зависим. В частности,
набор, содержащий o, всегда линейно зависим.
д) Векторы
u1 ,u2 ,...,us тогда и только тогда линейно
зависимы, когда существует такое число N, ,
что ur линейно
выражается через набор
.
е) Если набор векторов
линейно независим и
линейно выражается через векторы
v1 ,v2 ,...,vm , то .
Эквивалентные линейно независимые наборы содержат одно и то же
число векторов.
Первое утверждение пункта б) доказано. Остальные утверждения
пункта -- непосредственные следствия первого и пункта а).
в)
(по определению линейной независимости)
(a1-b1 ) = (a2 -b2 ) = ... = (am -bm ) = 0.
г) Если sa -- нетривиальная линейная комбинация вектора a,
равная o, то
и
a = 1a = (1/s)(sa) = o. Если a = o, то 1a --
нетривиальная линейная комбинация вектора a, равная o. Первое
утверждение пункта доказано. Второе утверждение вытекает из
того, что из равной o нетривиальной линейной комбинации части
набора векторов можно сделать равную o нетривиальную линейную
комбинацию всего набора, добавив с нулевыми
коэффициентами недостающие векторы.
д) Пусть векторы
u1 ,u2 ,...,us линейно зависимы,
a1u1 +a2u2 +...+anun -- их нетривиальная линейная комбинация,
равная o, и r -- номер последнего отличного от нуля коэффициета
этой комбинации. Тогда
a1u1 +a2u2 +...+arur=o и, значит,
Наоборот, если
,
то
a1 u1 +...+ar-1 ur-1+(-1) ur -- равная o нетривиальная
линейная комбинация набора
,
то есть набор
линейно зависим. По предыдущему пункту и весь набор
линейно зависим.
е) Второе утверждение непосредственно вытекает из
первого. Для доказательства первого утверждения используем
индукцию по s.
Пусть s=1. По г)
и, значит, .
Пусть
и утверждение верно для меньшего числа векторов.
По условию для каждого
i = 1,2,...,s вектор
ui = bi +ai vm , где
.
Рассмотрим 2 возможных случая.
Случай 1. Все ai равны 0. Тогда все ui линейно выражаются
через
v1 ,...,vm-1. Рассмотрим набор векторов
.
По г) он линейно независим (если он линейно
зависим, то и
линейно зависим) и линейно
выражается через
v1 ,...,vm-1 . По индукционному предположению
,
то есть .
Случай 2. Не все a равны 0. Поскольку от перенумерации
векторов в наборе условие линейной независимости и линейной
выразимости не изменится, можно перенумерацией векторов набора
добиться, чтобы .
После этого рассмотрим
набор
,
где
Из последнего равенства с помощью а) вытекает, что все u'i лежат
в
L(v1,...,vm-1). Покажем, что набор
линейно независим. Пусть
c1 u'1+...+cs-1 u's-1 = o. Подставив
сюда вместо всех u'i выражения
ui +(-ai /as )us , получим
где d -- некоторый скаляр (при желании его можно выразить через
ci). Так как набор
линейно независим, то все
ci равны 0 (d тоже равен 0, но нам это не потребуется). Отсюда
следует, что набор
линейно независим. Снова по
индукции
,
то есть .
Теорема доказана.
эквивалентен каждому из следующих
двух наборов:
где
;
где
.
из V,
удовлетворяющий следующим двум условиям:
1)
линейно независим,
2)
.
Если
-- база V,
то число
называется размерностью V (dimension (лат.) --
размерность). Если
и
v = a1 v2 +...+an vn, где ,
то
строка
[v] = (a1,...,an ) называется координатной строкой
(или строкой координат) вектора v в базе .
из примера 2.3.1 является базой kn (эта база называется
стандартной базой kn). Координатная строка элемента
в
стандартной базе совпадает с v.
2. Многочлены
составляют базу пространства Pn всех полиномов с веществеными
коэффициентами степени не выше,
чем n. Если
-- многочлен из Pn , то
или, что эквивалентно, свойством
для
.
При этом векторы
u1 ,u2 ,...,ut линейно зависимы (в V) тогда
и только тогда, когда
[u1 ],[u2 ],...,[ut ] линейно зависимы (в
kn ).
матрицы A проявляется в s-ом столбце, если для всех t<s
коэффициент ait равен 0, а
.
и
а) умножим ее на 1/ais (в результате матрица заменится на
эквивалентную, поскольку мы совершили элементарное
преобразование строк (см. пункт 2.3.12) s-я компонента i-ой строки
станет равной 1 и по-прежнему эта строка будет проявляться в
s-ом столбце),
а затем
б) каждую строку
с номером r, отличным от i, преобразуем следующим образом:
вычтем из нее преобразованную i-ю строку, умноженную на ars (в
результате матрица заменится на эквивалентную, поскольку мы
снова совершаем элементарные преобразования строк, а во всех
строках, кроме i-й, s-я компонента станет равной 0).
В любом случае, в преобразованной матрице будет не более
одной строки, проявляющейся в s-ом столбце.
-- две его базы. Выразим
векторы базы
через :
Матрица
называется матрицей перехода от базы
к
базе .
Ее строки -- это координатные строки векторов базы
в базе .
В частности, матрицей перехода от
к
является так
называемая единичная матрица
,
для которой
eij =1,
если i=j и
eij =0, если .
С помощью элементарных преобразований, в которых последняя
строка всегда играет пассивную роль, найдем эквивалентную ей
матрицу вида
где B эквивалентна
-- нулевая строка длины
-- строка
длины n (это можно сделать, например, алгоритмом Гаусса). Тогда
-d -- координатная строка вектора v в базе U. Доказать.
2. Построим
-матрицу [A|E]. Найдем эквивалентную ей
матрицу вида [E|C] (это можно сделать элементарными
преобразованиями строк, например, алгоритмом Гаусса). Тогда C --
матрица перехода от
к .
Доказать.
Теорема доказана.
Отметим, что
совпадает с линейной оболочкой объединения
баз подпространств Ai .
где
, то ai =a'i для всех i.
б) o однозначно представим в виде суммы элементов из A :
если
o =a1 +a2 +...+as, где , то ai =0 для всех i.
в) Для любого
j = 1,2,...,s
г) Если
-- база Ai для каждого i,
то объединение всех
является базой S.
Если выполнено любое из свойств а) -- г) (а, значит,
выполнены все эти свойства), то сумма
называется
прямой суммой (обозначение:
или
).
откуда по условию wj =o. Так как wj -- линейная комбинация
элементов базы
, то wj -- тривиальная
линейная комбинация,
поэтому w -- тривиальная линейная комбинация, то есть
-- база.
г)
б). Пусть
o = a1 +...+as, где
.
Выразим каждое
слагаемое ai через
и подставим в это равенство.
Получим
линейную комбинацию объединения соответствующих баз, равную o.
По условию эта линейная комбинация тривиальна и, в частности,
все ai равны нуль-вектору. Теорема доказана.
2. Пусть
v1 ,v2 ,...,vn -- база векторного пространства V
над k и
.
Тогда
(ср. с определением сложения и умножения на скаляр в
пространстве строк).
Легко проверить, что W -- векторное пространство. Оно
называется внешней прямой суммой пространств U и V
(обозначение:
).
Если
,
а
,
то U' и
V' --
подпространства в пространстве W и
.
Множество V/A, элементами которого являются все различные
смежные классы по A, называется фактор-множеством V по A.
Тогда
а) V/A -- векторное пространство над k, нуль-вектор
которого равен 0+A = A.
б) если
-- база A,
-- база V,
включающая эту базу A, то
В частности,
2.6.2. Примеры. 1. Отображение
из пункта г) теоремы 2.4.2.
является линейныым отображением V на kn.
Упражнения.
2.6.3. Пусть
-- множество всех линейных отображений
векторного пространства V в векторное пространство U. Пусть
.
Определим отображения
(сумма линейных
отображений) и
(произведение линейного отображения на
скаляр):
для любого
.
Теорема.
-- векторное пространство.
Доказательство. Проверка аксиом векторного пространства из
пункта 2.2.
2.6.4. Пусть теперь
W, V, U, T -- векторные пространства над
полем
.
Определим
произведение
:
для любого
.
Теорема. а)
.
2.6.5. Пусть V -- пространство над k с базой
-- пространство над k с базой
.
Матрицей
линейного отображения
относительно пары
называется упорядоченный набор
из n строк длины s, составленный из координатных строк векторов
в базе .
Примеры-упражнения.
1. Матрица нулевого отображения
,
ставящего в
соответствие каждому вектору v из V вектор ,
при любом
выборе баз целиком состоит из нулей (такая матрица называется
нулевой матрицей).
,
где E -- единичная
матрица размера ,
а O -
нулевая матрица размера ,
3. Пусть A и B -- подпространства в пространстве U = ks с
базами
и
,
соответственно, V -
внешняя прямая сумма A и B с базой
.
Пусть
-- стандартная
база U. Тогда матрица отображения
относительно
равна
4. Если
-- база пространства
-- стандартная база
-- любой набор векторов
из U, то относительно
матрица линейного отображения
пространства V в U, для которого
при всех i,
состоит из строк
(в том же
порядке).
Доказательство. Строка
определяется однозначно
отображением
и парой
.
Поэтому каждому линейному
отображению соответствует единственная матрица. Если матрицы
двух отображений равны, то эти два отображения одинаково
действуют на векторы базы ,
и, значит, одинаково действуют на
любой вектор из V , то есть совпадают. Если A -- любая матрица
из
,
то пусть wi -- вектор из U, координатная строка
которого в базе
совпадает с i-ой строкой матрицы A. Определим
следующим образом отображение
пространства V в U: если
,
где
,
то
.
Тогда
и
.
Таким образом, каждая матрица является
матрицей некоторого линейного отображения.
2.6.7. Ядро и образ, ранг и дефект линейного отображения.
Теорема. а)
-- подпространство пространства V
(его размерность называется дефектом ).
Доказательство. а) и б) проверяются непосредственно по
определению пространства.
тогда векторы
составляют базу
.
где O -- нулевая матрица размера ,
строками X служат
,
строками Y служат
.
Элементарными
преобразованиями строк приведем ее к виду
где число столбцов в каждой из матриц *, P, Z равно s и строки
матрицы Z линейно независимы. Тогда строки Z составляют базу A+B, а
строки P составляют базу B.