3. Матрицы и определители.

3.1. Сложение и умножение матриц.

3.1.1. Пункт 2.5.4. оправдывает следуещее определение суммы и произведения матриц: если $A = (a_{ij})_{m\times n}\ , B = (b_{ij})_{m\times n}$, то $A+B\ =\ S\ =\ (s_{ij})_{m\times n}$, где $s_{ij}\ =\ a_{ij} +b_{ij}$ при всех i и j (при этом предполагается, что сложение элементов a_ij и b_ij определено); если $A\ =\ (a_{ij})_{m\times n},\ B\ =\ (b_{jk})_{n\times s}$ , то $AB\ =\ P\ =\ (p_{ik})_{m\times s}$ , где

$$p_{ik}\ =\ a_{i1} b_{1k} +a_{i2} b_{2k} +...+a_{in} b_{nk}$$

при всех i и k (здесь тоже предполагается, что это выражение имеет смысл).

Примеры.

1. Пусть A -- матрица линейного отображения $\varphi$ пространства kⁿ в k^m относительно стандартных баз. Тогда для любой строки $v\in k^n$ имеет место равенство $v\varphi\ =\ vA$.

2. Пусть V -- пространство над k с базой ${\cal V}\ =\ \{v_1 ,v_2 ,...,v_n \},\ U$ -- пространство над k с базой ${\cal U}\ =\ \{u_1 ,u_2 ,...,u_m \}$. Пусть A -- матрица линейного отображения $\varphi$ пространства V в U относительно этих баз и пусть

$v\ = \ \left[ \begin{array}{l} v_1\\ v_2\\ ...\\ v_n \end{array} \right] ,... ... u\ = \ \left[ \begin{array}{l} u_1\\ u_2\\ ...\\ u_m \end{array} \right]$.

Тогда $v\varphi = Au$.

3. Линейная комбинация a₁ v₁ +a₂ v₂ +...+a_n v_n равна

$(a_1,a_2,...,a_n) \left[ \begin{array}{l} v_1\\ v_2\\ ...\\ v_n \end{array} \right]$.

Отметим, что складываются матрицы одного размера, а умножаются матрицы, вообще говоря, разных, но согласованных размеров. Наиболее интересен и важен тот частный случай, когда рассматриваются $(n\times n)$-матрицы (такие матрицы называются квадратными и для них число n называется размерностью) над множеством, в котором определены операции сложения и умножения, близкие по своим алгебраическим свойствам к сложению и умножению чисел.

3.1.2. Напомним, что множество S относительно определенных на нем операций сложения и умножения называется кольцом, если эти операции удовлетворяют условиям:

(ЗС) если $x,y\in S$, то $x+y\in S$ (замкнутость S относительно сложения);

(ЗУ) если $x,y\in S$, то $x\cdot y\in S$ (замкнутость S относительно умножения);

(АС) если $x,y,z\in S$, то $(x+y)+z\ =\ x+(y+z)$ (ассоциативность сложения в S);

(СН) в S существует нулевой элемент, то есть такой элемент $n\in S$, что для любого $x\in S$ имеет место равенство:

$$x+n\ =\ n+x\ =\ x$$

(существование нуля). Этот элемент единственный, его обозначают символом 0.

(СП) Для любого элемента a из S найдется такой элемент $x\in S$, что

$$a+x\ =\ x+a\ =\ n$$

(существование противоположного элемента). Этот элемент обозначается как -a.

(АУ) если $x,y,z\in S$, то $(x\cdot y)\cdot z = x\cdot (y\cdot z)$ (ассоциативность умножения в S);

(КС) если $x,y\in S$, то $x+y\ =\ y+x$ (коммутативность сложения в S);

(ЛД) если $x,y,z\in S$, то $x(y+z)\ =\ xy+xz$ (левая дистрибутивность);

(ПД) если $x,y,z\in S$, то $(x+y)\cdot z\ =\ xz+yz$ (правая дистрибутивность);

Теорема. Пусть S -- кольцо, $n\in$N. Тогда множество $M_n(S)\ =\ M_{n\times n}(S)$ всех квадратных матриц размерности n над S -- кольцо относительно операций сложения и умножения матриц.

Доказательство. Непосредственно проверяется, что если сложение и умножение в S удовлетворяет всем аксиомам, перечисленным выше, то и операции в M_n(S) удовлетворяют тому же списку аксиом. В частности, нулевой элемент в M_n(S) -- матрица $O\ =\ (o_{ij})_{n\times n}$ , где для всех i и $j\ o_{ij}\ =\ 0$; а противоположная матрица к матрице $(a_{ij})_{n\times n}$ равна $(-a_{ij})_{n\times n}$.

При $n\geq 2$ умножение в M_n(S) может быть некоммутативным, даже если S коммутативно. Например, $AB\ \neq\ BA$ для матриц

$A\ = \ \left[ \begin{array}{lr} 1&0\\ 1&1 \end{array} \right] ,\ B = \ \left[ \begin{array}{lr} 1&1\\ 0&1 \end{array} \right]$.

Упражнение. Пусть A и B -- матрицы (не обязательно квадратные и не обязательно одного размера) над одним и тем же кольцом. Если вертикальными и горизонтальными линиями матрицы A и B можно так рабить на прямоугольные куски $A_{ij},\ B_{ij}$ (их называют подматрицами или клетками соответствующих матриц):

$$A\ = \ \left[ \begin{array}{lccr} A_{11}&A_{12}&...&A_{1n}... ...ots&\vdots\\ A_{m1}&A_{m2}&...&A_{mn} \end{array} \right] ,$$

$$B\ = \ \left[ \begin{array}{lccr} B_{11}&B_{12}&...&B_{1s}... ...dots&\vdots\\ B_{n1}&B_{n2}&...&B_{ns} \end{array} \right],$$

что при всех $i\ =\ 1,2,...,m$ и $j\ =\ 1,2,...,s$ определена матрица

P_ij = A_i1B_1j+A_i2B_2j+...+A_inB_nj,

то $AB\ =\ P\ =\ (P_{ij})_{m\times s}$. Доказать.

3.1.3. Поскольку любое поле является кольцом, множество всех квадратных матриц размерности n над полем k также является кольцом. Именно это кольцо будет подразумеваться в дальнейшем под M_n(k). Заметим, что это кольцо -- кольцо с единицей. Единицей служит уже встречавшаяся нам матрица $E\ =\ (e_{ij})\in M_n(k)$, где $e_{ii}\ =\ 1$ для всех i, а остальные e_ij равны 0. Пусть $r,s\in \{1,2,...,n\},\ r\neq s$, и пусть $a\in k$. Обозначим через T_rs(a) матрицу $(t_{ij})\in M_n(k)$, где $t_{ii}\ =\ 1$ для всех $i,\ t_{rs}\ =\ a$, а остальные t_ij равны 0. Матрицу, равную одной из матриц T_rs(a), назовем элементарной матрицей. Пусть теперь $a_1 ,a_2 ,...,a_n\in k$ и пусть

$$D(a_1 ,a_2 ,...,a_n)\ =\ (d_{ij})$$

-- такая матрица из M_n(k), что $d_{ii}\ =\ a_i$ при всех $i,\ d_{ij} =0$ при $i\neq j$. Матрицу такого вида будем называть диагональной матрицей. Заметим, что единичная матрица E является и элементарной, и диагональной матрицей.

Теорема. Пусть $A\ =\ (a_{ij})\in M_n(k)$. Тогда для некоторых неотрицательных целых чисел a и b

$$A = T_1 T_2\dots T_a DT_{a+1} T_{a+2}\dots T_b,$$

где T_i -- элементарная матрица для всех i, а D -- диагональная матрица.

Доказательство. Индукция по n. Если n=1, то A -- диагональная матрица и A = A -- искомое произведение (в этом случае a=b=0). Пусть $n\geq 2$ и теорема справедлива для матриц из M_n-1(k). Рассмотрим несколько случаев.

Случай 1. a_in =0 для всех $i\leq n$, и a_nj =0 для всех $j\leq n$. Обозначим через $A^{\prime}$ подматрицу размерности n-1 матрицы A, расположенную в ее верхнем левом углу, то есть матрицу $A^{\prime}\ = \ (a_{ij})_{(n-1)\times (n-1)}$. По индуктивному предположению

$$A^{\prime}\ =\ T_1^{\prime}T_2^{\prime}\dots T_a^{\prime}D^{\prime}T_{a+1}^{\prime} T_{a+2}^{\prime}\dots T_b^{\prime},$$

где $T_i^{\prime}$ -- элементарная матрица из M_n-1(k) для всех i, а $D^{\prime}$ -- диагональная матрица из M_n-1(k). Пусть D -- матрица из M_n(k), в левом верхнем углу которой расположена матрица $D^{\prime}$, элементы с номерами in и $nj\ (i\neq n,\ j\neq n)$ равны 0, а элемент с номером nn равен a_nn. Пусть T_i -- матрица из M_n(k), в левом верхнем углу которой расположена матрица $T_i^{\prime}$, элементы с номерами sn и $nj\ (s\neq n,\ j\neq n)$ равны 0, а элемент с номером nn равен 1. Тогда T_i -- элементарная матрица из M_n(k) для всех i, а D - диагональная матрица из M_n(k) и

$$A\ =\ T_1 T_2\dots T_a DT_{a+1} T_{a+2}\dots T_b.$$

Случай 2. $a_{nn}\neq 0$. Заметим, что матрица T_rs(a)A отличается от A только r-ой строкой, которая равна линейной комбинации r-й и s-й строк матрицы A с коэффициентами 1 и a, а матрица AT_rs(a) отличается от A только s-м столбцом, который равен линейной комбинации r-го и s-го столбцов матрицы A с коэффициентами a и 1. Поэтому матрица

$$T_{1n}(-a_{1n}/a_{nn})\dots T_{n-1,n}(-a_{n-1,n}/a_{nn})A T_{n1}(-a_{n1}/a_{nn})$$

$$\dots T_{n,n-1}(-a_{n,n-1}/a_{nn})$$

удовлетворяет условиям первого случая и, по доказанному, равна

$$T_1 T_2\dots T_a DT_{a+1} T_{a+2}\dots T_b,$$

где T_i -- элементарная матрица для всех i, а D -- диагональная матрица. Непосредственно проверяется, что

T_rs(-a)T_rs(a) = T_rs(a)T_rs(-a) = E,

поэтому

$$A = T_{n-1,n}(a_{n-1,n}/a_{nn})\dots T_{1n}(a_{1n}/a_{nn}) T_1 T_2\dots T_a D\cdot$$

$$\cdot T_{a+1} T_{a+2}\dots T_bT_{n,n-1}(a_{n,n-1}/a_{nn}) \dots T_{n1}(a_{n1}/a_{nn})$$

и, значит, представима в нужном виде.

Случай 3. a_nn =0, а один из элементов последнего столбца или последней строки матрицы A отличен от 0 (пусть, например, $a_{n1}\neq 0$). По замечанию, сделанному при разборе второго случая, элемент с номером nn в матрице $A^{\prime}\ =\ AT_{n1}(1)$ равен a_n1, поэтому матрица $A^{\prime}$ удовлетворяет условиям 2-го случая и, следовательно представима в нужном виде. Но тогда и A представима в нужном виде. Поскольку разобраны все возможные случаи, теорема доказана.

3.1.4. Упражнение. Доказать, что любая матрица $A\in M_n(k)$ представима в виде $A = T_1 T_2\dots T_aU$, где T_i -- элементарная матрица для любого k, а $U\ =\ (u_{ij})$ -- нижняя треугольная матрица, то есть матрица, в которой u_ij =0, если i>j.

3.2. Определитель квадратной матрицы.

3.2.1. Цель этого пункта -- связать с каждой матрицей A из M_n(k) некоторый элемент из поля k, называемый определителем матрицы A, который равен 0 в точности тогда, когда строки матрицы A линейно зависимы (другими словами, который отличен от 0 в точности тогда, когда строки A составляют базу пространства kⁿ ). Пусть $A\ =\ (a_{ij})\in M_n(k)$. Определителем (детерминантом) матрицы A называется элемент из k (обычно обозначаемый как $det(A),\ \vert A\vert,\ det(a_{ij}),\ \vert a_{ij}\vert _{n\times n}$ или

$\left\vert \begin{array}{llll} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\\ a_{21} & ... ... \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \end{array} \right\vert )$,

который вычисляется следующим образом: если n = 1, то det(A) = a₁₁; если n > 1, то

det(A) = a₁₁A₁ -a₁₂A₂ +...+(-1)^n-1a_1nA_n, (n)

где A_i -- определитель матрицы из M_n-1(k), полученной из A вычеркиванием первой строки и i-го столбца.

Примеры:

1. При $n=2\ det(A) = a_{11}a_{22} -a_{12}a_{21}$.

2. При n=3

det(A) = a₁₁a₂₂a₃₃ +a₁₂a₂₃a₃₁ +a₁₃a₂₁a₃₂-

-a₁₁a₂₃a₃₂ -a₁₃a₂₂a₃₁ -a₁₂a₂₁a₃₃.

3. Если к определителям A_i из формулы (n) применить формулу (n-1), то после приведения подобных слагаемых получим формулу

det(A) = $=\sum_{1\leq j<i\leq n}(a_{1i}a_{2j}-a_{1j} a_{2i})(-1)^{i+j}B_{ij}$, (n,n-1)

где B_ij -- определитель матрицы, полученной из A вычеркиванием 1-й и 2-й строк и столбцов с номерами i и j.

4. Пусть A -- верхняя треугольная матрица, то есть пусть a_ij =0, если i<j. Тогда $det(A)\ =\ a_{11}a_{22}\dots a_{nn}$ (произведение элементов главной диагонали).

Упражнения.

1. Пусть $(a_{11},a_{12}),\ (a_{21},a_{22})$ -- декартовы координаты двух точек $A_1,\ A_2$ плоскости. Доказать, что площадь параллелограмма с вершиной в точке O=(0,0) и сторонами OA₁ и OA₂ равна модулю определителя $\left\vert \begin{array}{ll} a_{11} & a_{22}\\ a_{12} & a_{21} \end{array} \right\vert$. Сформулировать и доказать аналогичное утверждение для объема параллелепипеда.

2. Доказать, что $det\left[ \begin{array}{ll} A & O \\ X & B \end{array} \right]\ =\ detA\cdot detB$, если A и B - квадратные клетки, а O -- клетка (не обязательно квадратная), все элементы которой равны 0.

Основные свойства определителя сосредоточены в следующих трех теоремах.

3.2.2. Теорема. а) Если в матрице A поменять местами две строки, то определитель получившейся матрицы равен -det(A) (при транспозиции двух строк определитель меняет знак).

б) Если в матрице A есть две одинаковые строки, то det(A)=0.

в) Если строку матрицы умножить на скаляр, то определитель матрицы умножится на тот же скаляр. В частности, определитель матрицы, в которой одна строка нулевая, равен 0.

г) Если для некоторого $i\ i$-ю строку a матрицы A представить в виде суммы a =b +c двух строк, то

det(A) = det(B)+det(C),

где матрицы B и C отличаются от A только i-й строкой: в одной i-я строка равна b , в другой -- равна c.

д) Определитель матрицы A не изменится, если i-ю строку A заменить на линейную комбинацию i-й и j-й строк матрицы A с коэффициентами 1 и $a\ (i\neq j,\ a\in k)$, то есть если к произвольной строке матрицы прибавить умноженную на произвольный скаляр строку той же матрицы, но с другим номером.

Доказательство. Во всех случаях используем индукцию по n. а) Если номера переставляемых строк >1, то достаточно применить индуктивное предположение к определителям A формулы (n). Если переставляются строки с номерами 1 и 2, то утверждение следует из формулы (n,n-1). Если, наконец, речь идет о строках с номерами 1 и i>2, то переставим сначала 1-ю и 2-ю строки, затем получившуюся вторую и i-ю, а затем снова получившуюся вторую с получившейся первой. При этом по уже доказанному определитель трижды поменяет знак, 1-я и i-я строки поменяются местами, остальные строки останутся без изменения. б). По а) можно считать, что равны 1-я и 2-я строки, поэтому утверждение следует из формулы (n,n-1). в) и г) следуют по индукции из формулы (n) (отдельно рассматриваются случаи i=1 и i>1). д). По г) определитель преобразованной матрицы равен сумме двух определителей, отличающихся i-ми строками. Один из этих определителей есть определитель матрицы A, а второй после вынесения множителя a за знак определителя будет содержать две одинаковые строки и, следовательно, по б) равен 0.

3.2.3. Теорема.

det(AB) = det(A)єdet(B)

(определитель произведения квадратных матриц над полем равен произведению определителей сомножителей).

Доказательство.

Случай 1: $A\ =\ D(a_1 ,a_2 ,...,a_n)$ -- диагональная матрица. Тогда A -- верхняя треугольная матрица и, значит, $\vert A\vert\ =\ a_1 a_2\dots a_n$. Матрица AB получается из B умножением каждой строки на соответствующий скаляр a_i , поэтому $\vert AB\vert\ =\ a_1 a_2\dots a_n \vert B\vert\ =\ \vert A\vert\vert B\vert$.

Случай 2: $A\ =\ T_{rs}(a)$ -- элементарная матрица. Если к r-ой строке A прибавить s-ю, умноженную на -a, то A превратится в диагональную матрицу с единичными диагональными элементами и, значит, |A| = 1. Матрица AB получается из B прибавлением к r-й строке умноженной на $a\ s$-й строки. Такое преобразование не меняет определитель, поэтому $\vert AB\vert\ =\ \vert B\vert\ =\ \vert A\vert\vert B\vert$.

Случай 3 (общий). По теореме 3.1.3.

$$A = T_1 T_2\dots T_a DT_{a+1} T_{a+2}\dots T_b,$$

где T_i -- элементарная матрица для всех i, а D -- диагональная матрица. С учетом разобранных случаев имеем

$$\vert A\vert = \vert T_1\vert\vert T_2\dots T_a DT_{a+1} T_{a+2}\dots T_b\vert\ =$$

$$=\ \vert T_1\vert\vert T_2\vert\vert\dots T_a DT_{a+1} T_{a+2}\dots T_b\vert\ \ =$$

$$=\ \vert T_1\vert\vert T_2\vert\dots \vert T_a\vert\vert D\vert\vert T_{a+1}\vert\vert T_{a+2}\vert\dots \vert T_b\vert$$

и, аналогично,

$$\vert AB\vert\ =\ \vert T_1\vert\vert T_2\dots T_a DT_{a+1} T_{a+2}\dots T_bB\vert\ =$$

$$=\ \vert T_1\vert\vert T_2\vert\dots \vert T_a\vert\vert D\ve... ...T_{a+1}\vert\vert T_{a+2}\vert\dots \vert T_b\vert\vert B\vert.$$

Теорема доказана.

3.2.4. Транспонирование матрицы.

Если $A\ =\ (a_{ij})_{m\times n}$, то транспонированной матрицей A называется матрица $A^{\prime}\ =\ (a^{\prime}_{ij})_{n\times m}$, элементы которой при всех i и j удовлетворяют условию $a^{\prime}_{ij}\ =\ a_{ji}$. Таким образом, строки $A^{\prime}$ -- это столбцы матрицы A и, наоборот, столбцы $A^{\prime}$ -- это строки A.

Примеры-упражнения. 1. $(T_{rs}(a))^{\prime} = T_{sr}(a)$.

2. Если D -- диагональная матрица, то $D^{\prime}=D$.

3. $(AB)^{\prime} = B^{\prime}A^{\prime}$.

4. $(A^{\prime})^{\prime} = A$.

Теорема. а) Определитель транспонированной матрицы A равен определителю A.

б) Если в теореме 3.2.2 заменить везде слово "строка" на слово "столбец", то все соответствующие утверждения останутся верными.

Доказательство. а) По теореме 3.1.3.

$$A = T_1 T_2\dots T_a DT_{a+1} T_{a+2}\dots T_b,$$

где T_i -- элементарная матрица для всех i, а D -- диагональная матрица. По предыдущей теореме |A| = |D|. Далее,

$$A^{\prime} = T^{\prime}_b\dots T^{\prime}_{a+1} D^{\prime}T^{\prime}_a\dots T^{\prime}_1$$

и

$$\vert A^{\prime}\vert\ =\ \vert D^{\prime}\vert\ =\ \vert D\vert\ =\ \vert A\vert$$

. б). Операции над столбцами матрицы A -- это те же операции над строками $A^{\prime}$. Если мы, скажем, переставили два столбца в A, то тем самым переставили две строки в $A^{\prime}$. В результате определитель $A^{\prime}$ сменит знак, то есть по а) определитель A сменит знак. Аналогично доказываются и другие свойства определителя, связанные с преобразованием столбцов. Теорема доказана.

3.3. Разложение определителя по строке (столбцу).

3.3.1. Пусть $A\ =\ (a_{ij})\in M_n(k)$. Алгебраическим дополнением в A к элементу с номером ksназывается скаляр A_ks, равный произведению (-1)^k+s на определитель матрицы, полученной вычеркиванием из $A\ k$-й строки и s-го столбца.

Теорема. Пусть $A\ =\ (a_{ij})\in M_n(k)$ и $\hat{A}\ =\ (A_{ij})_{n\times n}$ -- матрица, элементами которой служат алгебраические дополнения к элементам матрицы A. Тогда $A\cdot\hat{A}^{\prime}\ =\ \hat{A}^{\prime}\cdot A\ =\ \vert A\vert E$, где E -- единичная матрица. Другими словами, верны равенства:

1) $\sum_{j=1}^na_{ij}A_{ij}\ =\ det(A)$ для i = 1,2,...,n

(разложение определителя по i-й строке),

2) $\sum_{j=1}^na_{ij}A_{kj}\ =\ 0$ для $i,k = 1,2,...,n,\ i\neq k$,

3) $\sum_{i=1}^na_{ij}A_{ij}\ =\ det(A)$ для j = 1,2,...,n

(разложение определителя по j-у столбцу),

4) $\sum_{i=1}^na_{ij}A_{ik}\ =\ 0$ для $j,k\ =\ 1,2,...,n,\ j\neq k$.

Доказательство. 1) Индукция по i. При i = 1 это равенство совпадает с формулой (n). Чтобы получить его для i>1, нужно переставить i-ю и (i-1)-ю строки, воспользоваться индукцией и учесть изменение знака, происшедшее от перестановки строк. 2) Рассмотрим матрицу B, полученную заменой k-й строки матрицы A на ее i-ю строку, и применим к det(B) = 0 разложение по k-й строке. 3) и 4) -- это равенства 1) и 2) для транспонированной матрицы A. Теорема доказана.

3.3.2. Упражнение. Доказать, что определитель Ван дер Монда

$$\left\vert \begin{array}{ccccc} x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&...&x_{... ...x_2&...&x_{n-1}&x_n\\ 1 & 1&...&1&1 \end{array} \right\vert$$

равен

$$(x_1 -x_2)(x_1 -x_2 )\dots (x_{n-1} -x_n ) = \prod_{1\leq i< j \leq n}{(x_i-x_j)}.$$

Указание: Вычесть из первой строки умноженную на x_n вторую строку, затем вычесть из второй строки умноженную на x_n третью строку, и т.д., наконец, вычесть из предпоследней строки умноженную на x_n последнюю строку. После этого разложить определитель по последнему столбцу и применить индукцию по n.

3.4. Обратная матрица. Если для матрицы $A\ =\ (a_{ij})\in M_n(k)$ существует такая матрица $X\in M_n(k)$, что AX = XA = E, то матрица A называется обратимой (или невырожденной), а X -- обратной матрицей к матрице A (обозначение X = A^-1).

Теорема. Матрица A обратима тогда и только тогда, когда $det(A) \neq 0$. Если $det(A) \neq 0$, то A^-1 = (x_ij), где

x_ij = A_ji/det(A)

(обратите внимание на перестановку индексов в этом равенстве). Другими словами,

$$A^{-1} = \vert A\vert^{-1}\hat{A}^{\prime}.$$

Доказательство. $AX = E \Rightarrow \vert A\vert\vert X\vert = \vert E\vert = 1 \Rightarrow \vert A\vert \neq 0$. Если $\vert A\vert \neq 0$, то, как следует из теоремы 3.3.1, $\vert A\vert^{-1}\hat{A}^{\prime}$ -- обратная матрица для A. Если X и Y -- две обратные матрицы к матрице A, то X = XE = XAY = EY = Y. Теорема доказана.

Упражнение. Пусть A -- обратимая матрица размерности n. Составим матрицу [E|A] размера $n\times 2n\ (E$ -- единичная матрица). Элементарными преобразованиями строк ее можно привести к виду [B|E]. Тогда B -- обратная матрица к A. Доказать.

3.5. Снова матрица перехода от базы к базе. Пусть V -- конечномерное векторное пространство над k и ${\cal V} = \{ v_1 ,v_2 ,...,v_n \},\ {\cal U} = \{ u_1 ,u_2 ,...,u_n \}$ -- две его базы. Выразим векторы базы ${\cal U}$ через ${\cal V}$:

$$u_i =a_{i1}v_1 +a_{i2}v_2+...+a_{in}v_n\ (i = 1,2,...,n).$$

Матрица $A = (a_{ij})_{n\times n}$ называется матрицей перехода от базы ${\cal V}$ к базе ${\cal U}$.

Теорема. а) Пусть ${\cal V}$, ${\cal U}$ -- базы векторного пространства и A - матрица перехода от ${\cal V}$ к ${\cal U}$. Тогда координатные строки $[x]_{\cal U}$ и $[x]_{\cal V}$ в этих базах связаны равенством

$$[x]_{\cal U} = [x]_{\cal V}\cdot A.$$

б) Пусть ${\cal V},\ {\cal U},\ {\cal T}$ -- три базы векторного пространства, A -- матрица перехода от ${\cal V}$ к ${\cal U}$, B -- матрица перехода от ${\cal U}$ к ${\cal T}$, C -- матрица перехода от ${\cal V}$ к ${\cal T}$. Тогда C = AB.

в) Матрица перехода от базы к базе невырождена и если A -- матрица перехода от ${\cal V}$ к ${\cal U}$, то A^-1 -- матрица перехода от ${\cal U}$ к ${\cal V}$.

Доказательство. Пункты а) и б) проверяются непосредственным вычислением. Для доказательства в) заметим, что матрица перехода от ${\cal V}$ к ${\cal V}$ равна E и положим в б) ${\cal T} = {\cal V}$. Тогда по б) E = AB, откуда $det(A) \neq 0$ и B = A^-1.

3.6.Ранг матрицы.

3.6.1. Мы уже рассматривали ранг набора строк матрицы $A\ =\ (a_{ij})_{m\times n}$ над полем k. Назовем этот ранг строчным рангом матрицы A. Поскольку столбцы матрицы A можно считать элементами векторного пространства k^m , есть смысл ввести определение ранга набора столбцов или столбцевого ранга матрицы A. Важным для приложений фактом является равенство столбцевого и строчного рангов для любой матрицы. Чтобы его доказать, введем понятие минорного ранга матрицы.

3.6.2. Пусть $s\leq m,\ s\leq n$. Минором s-го порядка матрицы $A\ =\ (a_{ij})_{m\times n}$ называется любая матрица размерности s, которую можно получить вычеркиванием из A любых m-s строк и любых n-s столбцов, другими словами, матрица, стоящая на пересечении любых s строк и любых s столбцов матрицы A. Минорным рангом матрицы A называется такое число r, что в A есть обратимый минор порядка r, но нет обратимых миноров порядка >r.

3.6.3. Теорема о ранге матрицы. Для любой матрицы ее минорный, строчный и столбцевой ранги совпадают.

Доказательство. Пусть минорный ранг матрицы A равен r. Покажем, что строчный ранг тоже равен r. Для этого можно считать, что обратимый минор M порядка r находится в первых r строках матрицы A. Отсюда следует, что первые r строк матрицы A линейно независимы и набор строк минора M линейно независим. Пусть a -- строка длины r, составленная из элементов i-ой строки матрицы $A\ (i>r)$, которые расположены в тех же столбцах, что и минор M. Так как строки минора M составляют базу в k^r , то a -- линейная комбинация строк минора M. Вычтем из i-ой строки A такую же линейную комбинацию первых r строк матрицы A. Если получится строка, содержащая ненулевой элемент в столбце с номером t, то рассмотрим минор M₁ порядка r+1 матрицы A, добавив к строкам минора $M\ i$-ю строку матрицы A и к столбцам минора $M\ t$-ый столбец матрицы A (говорят, что минор M₁ получен окаймлением минора M с помощью i-ой строки и t-го столбца матрицы A). По нашему выбору t, этот минор обратим (достаточно вычесть из последней строки этого минора выбранную выше линейную комбинацию первых r строк, а затем разложить его определитель по последней строке, чтобы убедиться, что этот определитель с точностью до ненулевого скалярного множителя совпадает с определителем минора M. По определению r такая ситуация невозможна и, значит, после преобразования i-я строка A станет нулевой. Другими словами, исходная i-я строка -- линейная комбинация первых r строк матрицы A. Мы показали, что первые r строк составляют базу набора строк матрицы A, то есть строчный ранг A равен r. Чтобы доказать, что столбцевой ранг равен r, достаточно в приведенном выше рассуждении "строки" и "столбцы" поменять местами. Теорема доказана.

Эта теорема показывает, что нет смысла различать три ранга матрицы, и в дальнейшем под рангом матрицы мы будем понимать строчный ранг, помня о том, что он равен и столбцевому, и минорному рангу (обозначение r(A) -- ранг матрицы A). Заметим еще, что из доказательства теоремы о ранге следует, что ранг матрицы совпадает с размерностью любого такого обратимого минора матрицы, что все окаймляющие его миноры (если они вообще существуют) вырождены.

3.6.4. Следствие. Определитель квадратной матрицы тогда и только тогда равен 0, когда строки матрицы линейно зависимы (или, что то же самое, строки матрицы составляют базу в пространстве строк.

3.6.6. Упражнение.

$$r(A+B)\leq r(A)+r(B),\ r(AB)\leq r(A), r(AB)\leq r(B).$$

Указание: Набор строк матрицы A+B линейно выражается через объединение наборов строк матриц A и B. Набор строк матрицы AB линейно выражается через набор строк матрицы B. Набор столбцов матрицы AB линейно выражается через набор столбцов матрицы A.