Изложение этой темы заимствовано из работы Чур- кина В.А."Жорданова
классификация конечномерных линейных операторов", Новосибирск: НГУ,
1991.
7.1. Ядерно-образные и корневые разложения.
Далее
,... --
линейные операторы в векторном пространстве V над полем k,
-- тождественный, o -- нулевой оператор.
7.1.1. Лемма (критерий прямого
разложения).
7.1.2. Лемма. Пусть
и
. Тогда
и
.
Доказательство.
.
Далее, имеем
.
Поэтому
.
Отсюда
.
Следовательно, неравенства должны быть равенствами:
.
Поскольку
и
,
то
и
.
Аналогично,
,
и
лемма доказана.
Другое доказательство.
.
Применяя
к этому
равенству, получим, что
. По лемме 7.1.1
.
Так
как
,
то
и
.
Значит,
.
Следовательно,
.
Аналогично,
.
7.1.3. Теорема. Пусть многочлен f(x) с
коэффициентами из k разложен в произведение
взаимно простых множителей:
при . Если
для линейного преобразования
векторного пространства V над полем k, то
и все слагаемые
этого "ядерного"
разложения -инвариантны.
Доказательство проведем индукцией
по s с помощью леммы 7.1.2. При s = 1 утверждение тривиально. Сделаем
индукционный шаг
.
Поскольку многочлены
f1 и
взаимно просты, над k найдутся такие многочлены u и v, что
.
Если в это равенство подставить
вместо
переменной x и обозначить
,
то получим равенство
.
По лемме 7.1.2
.
Подпространство
-инвариантно,
сужение
преобразования
на W удовлетворяет
условиям теоремы
для многочлена
и по предположению индукции
.
Осталось заметить, что
при i > 2. Включение
очевидно.
Обратное включение следует из того, что
при .
Теорема доказана.
Как следствие получается теорема о корневом разложении:
7.1.4. Теорема. Пусть k является полем разложения для
характеристического полинома f(x)
линейного преобразования векторного пространства V на полем k.
Пусть
,
где -- попарно различные элементы поля k.
Тогда
7.1.5. Упражнение. Пусть
--
такие линейные преобразования пространства V, что
при всех
.
Доказать,
что
и что
--
проектирование пространства V
на подпространство
параллельно прямой сумме остальных
подпространств .
7.2. Жорданово разложение.
Если все характеристические корни
оператора
векторного
пространства V над полем k лежат в k, то по теореме 7.1.4
,
где
-- корневое подпространство,
соответствующее корню .
Каждый вектор
имеет
единственную запись
.
Ввиду инвариантности
корневых подпространств получаем следующую запись вектора
в
разложении пространства:
.
Значит,
действие оператора
на пространстве V восстанавливается из
действий оператора
на корневых подпространствах Vi.
Пусть
--
сужение оператора
на
подпространстве Vi . Так как
, то
.
Такой
оператор
называется нильпотентным. Рассмотрим эту ситуацию
отдельно, опуская индекс i. Итак, пусть далее
--
нильпотентный оператор на пространстве V. Приведем простое доказательство
разложимости пространства относительно нильпотентного оператора
в прямую сумму так называемых циклических подпространств (жорданово
разложение).
Ниль-слоем длины l назовем набор векторов
,
если
.
Набор векторов, составленный из ниль-слоев,
назовем жордановым. База пространства, являющаяся жордановым
набором, называется жордановой базой.
Запись жорданова набора в форме таблицы,
строки которой составлены из ниль-слоев и все они имеют общую
правую вертикальную границу, назовем жордановой таблицей.
Элементарными преобразованиями жордановой таблицы назовем
1) прибавление к слою длины l расположенного под ним или
над ним отрезка длины l из другого слоя, умноженного на число;
2) умножение слоя на ненулевое число;
3) перестановку слоев;
4) исключение нулевых векторов сдвигом слоя вправо.
Отметим, что эти преобразования сохраняют и свойство
таблицы быть жордановой, и линейную оболочку жорданова набора.
7.2.1. Лемма. Если набор векторов, составляющих правый столбец
жордановой таблицы, линейно независим, то весь жорданов
набор линейно независим.
Доказательство. Пусть
и apq -- ненулевой
коэффициент при самом левом векторе из жордановой таблицы.
Подействуем на эту комбинацию преобразованием
, где r
-- число
столбцов жордановой таблицы правее этого вектора. Тогда получим
нулевую комбинацию векторов из последнего столбца с ненулевым
коэффициентом apq при одном из векторов.
Противоречие. Лемма доказана.
7.2.2. Теорема. Векторное пространство V относительно
нильпотентного оператора имеет жорданову базу. Число sp
ниль-слоев
длины p в этой базе не зависит от выбора базы и равно
rp-1 -
2rp + rp+1, где
.
Доказательство. Пусть
e1 ,...,en - некоторая база
пространства V. Составим жорданову таблицу из ниль-слоев с
началами
e1 ,
..., en. Элементарными преобразованиями 1 -- 4 можно
перестроить таблицу так, что набор векторов ее правого столбца станет
линейно независимым. Утверждается, что соответствующий этой таблице
набор векторов образует жорданову базу. В самом деле, линейная
независимость следует из леммы, а максимальность -- из
сохранения линейной оболочки при элементарных преобразованиях и из
того, что исходный жорданов набор включал базу пространства.
Пусть дана произвольная жорданова база и sp -- число
ниль-слоев длины p из нее. Тогда легко указать базы пространств
и подсчитать их размерности:
r0 = dimV | = | s1+2s2+3s3+4s4+... |
= | s2+2s3+3s4+... | |
= | s3+2s4+... | |
.... | ... |
7.3. Матричная форма теоремы Жордана
Пусть
e1 ,...,en - база пространства V над полем k,
содержащим все корни
оператора ,
который действует на V, и пусть A
-- матрица оператора
в этой базе. Фиксируем в корневом
подпространстве Vi жорданову базу относительно оператора
,
занумеруем ее векторы, составляющие жорданову таблицу, по ниль-
слоям слева направо, перечисляя сами ниль-слои сверху вниз.
Объединение таких баз назовем жордановой базой для оператора .
Вычислим матрицу оператора в жордановой базе.
Если fp - последний вектор ниль-слоя в пространстве Vi ,
то
и, значит,
.
Если fp -- не последний вектор в ниль-слое, то
и
.
Следовательно,
координатная строка вектора
в базе
f1 ,...,fn имеет вид
или
,
соответственно, где
-- p-я компонента
строки. Поэтому матрица AJ оператора
в этой базе клеточно
диагональна, диагональные жордановы клетки имеют вид