8.1. Значение полинома от матрицы.
Теорема. Пусть f(x) -- полином с
числовыми коэффициентами. Если
A - матрица над числовым полем,
1.
2.
3.
f(A) = Tf(J)T-1.
Доказательство. Индукция по степени m полинома f.
При m=0 утверждение очевидно. Пусть f=g+bxm и степень g меньше
m. Так как
8.2. Значение функции от матрицы.
Пусть A -- матрица с числовыми элементами, a1,...,ar -- ее различные характеристические корни, J -- ее жорданова форма. Пусть ti -- максимальная размерность жордановой клетки с числом ai на диагонали в жордановой форме матрицы J=T-1AT. Если f -- числовая функция, для которой при всех i=1,...,r существуют значения , то будем говорить в этом случае, что значение f(A) определено и равно матрице, вычисленной по формулам пунктов 1,2,3 теоремы 8.1.
Теорема. Пусть значение f(A) определено для матрицы A. Тогда существует полином p, для которого p(A)=f(A). В частности, значение f(A) не зависит от выбора T в равенстве J=T-1AT.
Доказательство. По теореме Лагранжа - Сильвестра существует
полином p, для которого
p(k)(ai)=f(k)(ai) при всех
.
По определению
8.3. Значение функции от линейного преобразования.
Пусть - линейное преобразование пространства -- база V и A -- матрица в этой базе. Пусть f - функция, для которой значение f(A) определено. Пусть - линейное преобразование, матрица которого в той же базе равна f(A). Обозначим через и назовем его значением функции f от линейного преобразования .
Теорема. Для любой функции f и любого преобразования значение либо не определено, либо определено единственным образом. В последнем случае оно равно значению от некоторого полинома.
Доказательство. Пусть значение f(A) определено для матрицы A
преобразования
в некоторой базе. Тогда в любой другой базе
матрица
равна T-1AT, где T -- матрица перехода, поэтому
матрица
f(T-1AT) также определена и имеет место равенство
f(T-1AT)=T-1f(A)T. Поэтому
если в некоторой базе =
,
то и в любой базе
это равенство
сохранится и, значит,
определяется единственным образом. По
теореме 8.2
,
где p --
некоторый полином, откуда
.
Теорема доказана.