9. Линейные преобразования евклидовых и унитарных пространств

Пусть V -- векторное пространство над полем k, где $k={\boldmath R}$ или $k={\boldmath C}$. В соответствии с тем, какой случай имеет место, будем называть V действительным или комплексным пространством. Скалярным произведением на V называется любое отображение $(\ ,\ ):\ V\times V\rightarrow k$, обладающее следующими свойствами: 1) R $\ni (v,v)>0$ для любого ненулевого вектора v из V, 2) (v₁+v₂,u)=(v₁,u)+(v₂,u) для любых u,v₁,v₂ из V. 3) (av,u)=a(v,u) для любых a из k и u,v из V, 4) $(u,v)=\overline{(v,u)}$ -- число, комплексно сопряженное с (v,u) для любых u,v из V. Число (u,v) называется скалярным произведением векторов u и v. Пространство V, на котором задано скалярное произведение называется евклидовым, если $k={\boldmath R}$, и унитарным, если $k={\boldmath C}$.

9.1.1. Примеры. 1. Пусть V -- пространство векторов вещественной плоскости с началом в общей точке, (u,v) -- произведение длин векторов u,v и косинуса угла между ними. Тогда V -- евклидово пространство со скалярным произведением $(\ ,\ )$. 2. Пусть V=kⁿ, где $k={\boldmath C}$ или $k={\boldmath R}$. Если $u=(a_1,a_2,...a_n),\ v=(b_1,b_2,...,b_n)$, то пусть $(u,v)=a_1\overline{b}_1+a_2\overline{b}_2+...+ a_n\overline{b}_n$. Тогда $(\ ,\ )$ -- скалярное произведение. Оно называется стандартным скалярным произведением. 3. Пусть V -- пространство полиномов над $k={\boldmath R}$ и $(f,g)=\int^1_0f(x)g(x)dx$. Тогда V -- евклидово пространство.

9.1.2. Упражнения. 1. Если V -- евклидово пространство, то (u,v)=(v,u) для всех u,v из V. 2. (v,u₁+u₂)=(v,u₁)+(v,u₂); $(v,au_1)=\overline{a}(v,u_1)$ для всех $u_1,u_2,v\in V,a\in k$. 3. $\vert(u,v)\vert^2\leq (u,u)(v,v)$ для всех $u,v\in V$ (неравенство Коши - Буняковского). $\vert(u,v)\vert^2= (u,u)(v,v)\Leftrightarrow\ u,v$ линейно зависимы.

9.2. Ортонормированная база

Длиной |v| вектора v называется арифметический квадратный корень $\sqrt{(v,v)}$ из скалярного квадрата (v,v) вектора v. Вектор называется нормированным, если его длина равна 1. Отметим, что |av|=|a||v| для $a\in k,\ v\in V$ и v/|v| -- нормированный вектор для любого ненулевого вектора v. Определим косинус угла между ненулевыми векторами u,v как число

(u,v)/|u||v|.

Неравенство Коши - Буняковского показывает, что модуль косинуса не превосходит 1. Он равен 1 тогда и только тогда, когда u,v линейно зависимы. Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно 0. Нулевой вектор ортогонален любому вектору. Набор векторов называется ортогональным, если он состоит из ненулевых попарно ортогональных векторов. Ортогональный набор, состоящий из нормированных векторов называется ортонормированным. Пустой набор будем считать ортонормированным.

9.2.1. Теорема. 1. Ортогональный набор векторов линейно независим. 2. Для любого конечного набора векторов существует ортогональный набор с такой же линейной оболочкой. 3. Любое конечномерное евклидово (унитарное) пространство обладает ортонормированной базой. Более того, любой ортонормированный набор векторов можно включить в ортонормированную базу.

Доказательство. 1. Пусть $\{ v_1,...,v_s\}$ -- ортогональный набор, $\sum_ia_iv_i=\overline{0}$. Тогда $0=(\overline{0} ,v_j)=(\sum_ia_iv_i ,v_j)=a_j(v_j,v_j)$, откуда a_j=0 для любого j=1,...,s. 2. Пусть $\{ a_1,...,a_s\}$ -- набор векторов. Можно считать, что он линейно независим. Положим b₁=a₁. Если s=1, то $\{ b_1\}$ -- искомый ортогональный набор. Пусть s>1 и уже найден ортогональный набор $\{ b_1,...,b_{s-1}\}$, для которого L( a₁,...,a_s-1)= L(b₁,...,b_s-1). Положим

$$b_s=a_s-\sum_{i=1}^{s-1}(a_s,b_i)/(b_i,b_i).$$

Тогда L(a₁,...,a_s)= L(b₁,...,b_s) и $\{(b_1,...,b_{s})$ -- ортогональный набор. Описанный здесь процесс построения векторов b_i называется процессом ортогонализации Грама - Шмидта. Очевидно, что процесс ортогонализации, примененный к ортогональному набору, не изменяет его. 3. Применив процесс ортогонализации к произвольной базе пространства, получим ортогональную базу. Нормировав каждый вектор этой базы, получим ортонормированную базу. Если дан ортонормированный набор, то для получения ортонормированной базы, включающей этот набор, достаточно включить этот набор в базу, а затем эту базу ортонормировать.

9.3. Скалярное произведение в ортонормированной базе.

Теорема. Зафиксируем некоторую ортонормированную базу в евклидовом (унитарном) пространстве. Для каждого вектора v обозначим через [v] его координатную строку в этой базе. Тогда для любых векторов u,v

$$(u,v)=([u],[v])=[u]\overline{[v]^{\prime}}=[u]\overline{[v]}^{\prime}$$

Здесь ([u],[v]) -- стандартное скалярное произведение в пространстве строк.

Доказательство -- очевидно вычисление.

9.4. Ортогональное дополнение к подпространству

Для подпространства A евклидова (унитарного) пространства V обозначим через $A^{\star}$ множество всех векторов из V, ортогональных каждому вектору из A. Это множество назовем ортогональным дополнением к A.

Теорема. Пусть A и B -- подпространства пространства V. Тогда 1. $A^{\star}$ -- подпространство и $V=A\oplus A^{\star}$. 2. $A^{\star\star}=A$. 3. $(A+B)^{\star}=A^{\star}\cap B^{\star}$ 4. $(A\cap B)^{\star}=A^{\star}+B^{\star}$

Доказательство. 1. Если некоторые векторы ортогональны некоторому вектору, то их линейная комбинация также ортогональна этому вектору. Поэтому $A^{\star}$ -- подпространство. Векторы, дополняющие ортонормированную базу A до ортонормированной базы V, лежат в $A^{\star}$, поэтому $V=A+A^{\star}$. Поскольку скалярный квадрат любого вектора из $A\cap A^{\star}$ равен нулю, $A\cap A^{\star}=O$. 2. $A\subseteq A^{\star\star}$ и по 1. размерность A равна размерности $A^{\star\star}$. Доказательство остальных двух пунктов предлагаются читателю в качестве упражнения.

9.5. Сопряженное линейное преобразование

Пусть V -- евклидово (унитарное) пространство, $\varphi$ -- его линейное пеобразование. Отображение $\varphi ^{\star}:\ V\rightarrow V$ называется сопряженным с $\varphi$, если

$$(u\varphi ,v)=(u,v\varphi ^{\star})$$

для любых векторов u,v из V. Сопряженной матрицей к числовой матрице A называется матрица

$$A^{\star}=\overline{A}^{\prime}=\overline{A^{\prime}}.$$

Отметим, что

$$A^{\star\star}=A,$$

$$(A+B)^{\star}=A^{\star}+B^{\star},$$

$$(AB)^{\star}=B^{\star}A^{\star}$$

и

$$(aA)^{\star}=\overline{a}A^{\star},$$

если A,B -- матрицы, a -- любое число.

Теорема. 1. Для любого линейного преобразования $\varphi$ сопряженное преобразование $\varphi ^{\star}$ существует, определяется единственным образом и линейно. Кроме того, в любой ортонормированной базе

$$[\varphi ^{\star}]=[\varphi ]^{\star}.$$

2. Для любых линейных преобразований $\varphi ,\psi$ и числа a

$$(\varphi +\psi )^{\star}=\varphi ^{\star}+\psi ^{\star},$$

$$(\varphi\psi )^{\star}=\psi ^{\star}\varphi ^{\star},$$

$$a\varphi ^{\star}=\overline{a}\varphi ^{\star}.$$

Если $\varepsilon$ -- тождественное преобразование, то $\varepsilon ^{\star} =\varepsilon$. 3. Если U -- подпространство, инвариантное относительно $\varphi$, то $U^{\star}$ инвариантно относительно $\varphi ^{\star}$.

Доказательство. 1. Выберем ортонормированную базу и линейное преобразование $\psi$, для которого $[\psi ]=[\varphi ]^{\star}$. Для любых векторов u,v имеет место равенство

$$(u\varphi ,v)=[u\varphi][v]^{\star}=[u][\varphi ][v]^{\star}= [u][\varphi ]^{\star\star}[v]^{\star}=$$

$$=[u]([v]\varphi ^{\star})^{\star}= (u,v\psi ).$$

Таким образом, существует линейное преобразование $\psi$, сопряженное с $\varphi$. Пусть для преобразования $\tau$ при любых векторах u,v справедливо равенство $(u\varphi ,v)=(u,v\psi )=(u,v\tau)$. Тогда $(u,v\psi -v\tau )=0$. Положим $u=v\psi -v\tau$. Тогда (u,u)=0,u=0 и $\psi =\tau$. Это доказывает единственность сопряженного преобразования и все остальные утверждения пункта 1. Пункт 2 сразу следует из определения сопряженного преобразования и пункта 1. 3. Если $x\in U^{\star}$, то для любого $u\in U$

$$0=(u\varphi ,x)=(u,x\varphi ^{\star}),$$

откуда $x\varphi ^{\star}\in U^{\star}$.

9.6. Нормальные преобразования и матрицы

Матрица $A\in M_n(\mbox{\boldmath$C$ })$ называется нормальной, если $AA^{\star}=A^{\star}A$. Линейное преобразование $\varphi$ евклидова (унитарного) пространства называется нормальным, если $\varphi \varphi ^{\star}= \varphi ^{\star}\varphi$. Таким образом, матрица нормального преобразования в ортонормированной базе - нормальная матрица. Наоборот, если A -- нормальная матрица, то линейное преобразование, матрица которого в некоторой ортонормированной базе совпадает с A, нормально.

9.6.1. Упражнение. Если A -- нормальная матрица над $k,\ \varphi$ -- нормальное преобразование пространства над k и f -- полином над k, то f(A) -- нормальная матрица, а $f(\varphi )$ - нормальное преобразование. Доказать.

9.6.2. Теорема. 1. Если u -- собственный вектор нормального преобразования $\varphi$ с собственным значением a, то u -- собственный вектор и для сопряженного преобразования $\varphi ^{\star}$ с собственным значением $\overline{a}$. 2. Собственные векторы нормального преобразования, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Доказательство. 1. Положим $\psi =\varphi -a\varepsilon$. Тогда $\psi$ нормально и $\psi ^{\star}=\varphi ^{\star}-a\varepsilon$. Далее

$$0=(u\psi ,u\psi ) =(u,u\psi\psi ^{\star}= (u,u\psi ^{\star}\psi )=(u\psi ^{\star},u\psi ^{\star}),$$

откуда $u^{\star}=0$ и $u\varphi ^{\star}=au$. 2. Пусть u -- собственный вектор с собственным значением $a,\ v$ -- собственный вектор с собственным значением b и $a\neq b$. Тогда

$$a(u,v)=(u\varphi ,v)=(u,v\varphi ^{\star})=b(u,v),$$

откуда (u,v)=0.

9.6.3. Упражнение. Если A -- подпространство, инвариантное относительно $\varphi$ и $\varphi ^{\star}$, а $\psi$ -- ограничение $\varphi$ на A, то $\psi ^{\star}$ совпадает с ограничением $\varphi ^{\star}$ на A. Если $\varphi$ нормально, то $\psi$ также нормально. Доказать.

9.6.4. Теорема. Если $\varphi$ -- нормальное преобразование унитарного пространства V, то в V есть ортонормированная база, состоящая из собственных векторов преобразования $\varphi$ (то есть база, в которой матрица $\varphi$ диагональна).

Доказательство. Индукция по n=dimV. Случай n=1 тривиален. Пусть теорема справедлива для нормальных преобразований унитарных пространств размерности n-1. Поскольку характеристический полином преобразования $\varphi$ разлагается над C на линейные множители, любой его корень -- собственное значение. Пусть e₁ -- нормированный собственный вектор для $\varphi$. Он является собственным вектором и для $\varphi ^{\star}$. Поэтому ортогональное дополнение U к одномерному $\{ \varphi , \varphi ^{\star}\}$-инвариантному подпространству Ce₁ является $\{ \varphi , \varphi ^{\star}\}$-инвариантным. Размерность U равна n-1 и по индукции найдется его ортонормированная база e₂,...,e_n, в которой $[\varphi _{\vert U}]$ диагональна. Теперь искомой базой V является база e₁,e₂,...,e_n.

9.6.5. Теорема. Если $\varphi$ -- нормальное преобразование евклидова пространства V, то в V найдется ортонормированная база, в которой $[\varphi ]$ -- клеточно-диагональная матрица

$$\left[ \begin{array}{rrrr} A_1& \\ &A_2& \\ & &\ddots& \\ & & &A_s \end{array} \right],$$

где каждая клетка A_i либо одномерна, либо имеет вид

$$A_i=r\left[ \begin{array}{rr} \cos a&-\sin a \\ \sin a & \cos a \\ \end{array} \right]$$

для некоторых вещественных чисел r>0 и $a\neq m\pi$. В последнем случае $r(\cos a+\sin a)$ -- характеристический корень $\varphi$, не лежащий в R.

Доказательство. Индукция по n=dimV. Если $\varphi$ обладает собственным вектором, то повторим доказательство предыдущей теоремы, поэтому можно предположить, что все характеристические корни $\varphi$ не лежат в R. Пусть e₁,...,e_n -- ортонормированная база V и A -- матрица $\varphi$ в этой базе. Тогда A -- нормальная вещественная матрица. Пусть $\psi$ -- линейное преобразование унитарного пространства Cⁿ, переводящее каждую строку u из Cⁿ в uA. Матрица $\psi$ в стандартной (ортонормированной) базе совпадает с A, поэтому $\psi$ -- нормальное преобразование Cⁿ. Пусть u -- собственный вектор для $\psi$ с собственным значением b. Тогда $b\notin$Rⁿ и uA=bu. Отсюда $\overline{b}\overline{u}=\overline{u}\overline{A}=\overline{u}A$, то есть комплексно-сопряженная сторока $\overline{u}$ также является собственным вектором для $\psi$. Более того, $\vert\overline{u}\vert=\vert u\vert$ и $(u,\overline{u})=0$, поскольку $b\neq\overline{b}$. Теперь строки $[v_1]=(u+\overline{u})/2, [v_2]=(u-\overline{u})/2i$, представляющие собой вещественную и мнимую части строки u, также ортогональны, лежат в Rⁿ и имеют одну и ту же длину, равную |u|²/2. Выбрав заранее строку u длины $\sqrt{2}$, получим ортонормированную пару элементов [v₁], [v₂] из Rⁿ. Пусть $b=r(\cos a+i\sin a)$. Тогда $[v_1]A=(uA+\overline{u}A)/2]=(bu+\overline{b}\overline{u})/2 =r(\cos au+i\sin au+\cos a\overline{u}-\sin a\overline{u})/2= r(\cos a[v_1]-\sin a[v_2])$. Если v₁,v₂ -- векторы из V, координатные строки которых равны, соответственно, [v₁],[v₂], то v₁,v₂ составляют ортонормированную пару

$$v_1\varphi =r(\cos av_1-\sin av_2)$$

и аналогично

$$v_2\varphi =r(\cos av_2+\sin av_1).$$

Кроме того, $uA^{\star}=\overline{b}u$ и $\overline{u}A^{\star} =b\overline{u}$, откуда

$$v_1\varphi ^{\star}=r(\cos av_1+\sin av_2),$$

$$v_2\varphi ^{\star}=r(\cos av_2-\sin av_1).$$

Таким образом, L(v₁,v₂) -- двумерное $\{ \varphi , \varphi ^{\star}\}$-инвари- антное подпространство с ортонормированной базой v₁,v₂, и доказательство можно завершить так же, как в предыдущей теореме.

9.7. Ортогональные и унитарные преобразования

Матрица A над R называется ортогональной, если $AA^{\prime}=E$. Матрица A над C называется унитарной, если $AA^{\star}=E$. Другими словами, матрица ортогональна (унитарна), если ее строки составляют ортонормированную базу в пространстве вещественных (комплексных строк) со стандартным скалярным произведением. Ортогональная матрица унитарна, унитарная матрица с вещественными элементами ортогональна.

9.7.1. Теорема. Следующие свойства преобразования $\varphi$ евклидова (унитарного) пространства V эквивалентны: 1) $(u\varphi ,u\varphi )=(u,u)$ для любого $u\in V$. 2) $(u\varphi ,v\varphi )=(u,v)$ для любых $u,v\in V$. 3) $\varphi \varphi ^{\star}=\varepsilon$. 4) в любой ортонормированной базе матрица $\varphi$ ортогональна (унитарна). 5) $\varphi$ переводит ортонормированную базу снова в ортонормированную базу. Преобразование $\varphi$ называется ортогональным (унитарным), если выполнено любое из свойств 1 -- 5 теоремы.

Доказательство. 1) $\Longrightarrow$ 2). Для любого числа a

$$(u+av)\varphi ,(u+av)\varphi )=(u+av,u+av),$$

откуда

$$\overline{a}(u\varphi ,v\varphi )+a(v\varphi ,u\varphi )= \overline{a}(u,v)+a(v,u).$$

Положив a=1, получим

$$(u\varphi ,v\varphi )+(v\varphi ,u\varphi )= (u,v)+(v,u).$$

Если пространство евклидово, то это равенство превращается в равенство

$$2(u\varphi ,v\varphi )= 2(u,v).$$

Если же пространство унитарно, то положив a=i, получим

$$-(u\varphi ,v\varphi )+(v\varphi ,u\varphi )= -(u,v)+(v,u).$$

Вместе с прежним равенством это дает

$$(u\varphi ,v\varphi )= (u,v).$$

2) $\Longrightarrow$ 3). Имеем $(u,v\varphi \varphi^{\star})= (u,v)$ для всех векторов u,v, то есть $(u,v-v\varphi \varphi ^{\star})=0$. Положив $u=v-v\varphi \varphi ^{\star}$, получим $v-v\varphi \varphi ^{\star}=0$ или $v\varphi \varphi ^{\star}=v$ для всех v, откуда $\varphi \varphi ^{\star}=\varepsilon$. 3) $\Longrightarrow$ 4). В ортонормированной базе

$$E=[\varphi ][\varphi ^{\star}]=[\varphi ^{\star}][\varphi ].$$

4) $\Longrightarrow$ 5). Пусть $e_1\varphi ,...,e_n\varphi$ -- образ ортонормированной базы e₁,...,e_n под действием $\varphi$. Тогда

$$(e_i\varphi ,e_j\varphi )=[e_i\varphi ][e_j\varphi ]^{\star} =[e_i][\varphi ][\varphi ]^{\star}[e_j]^{\star}=$$

$$=[e_i][e_j]^{\star} =(e_i,e_j).$$

5) $\Longrightarrow$ 1). Пусть u=a₁e₁+...+a_ne_n, где e₁,...,e_n -- ортонормированная база. Тогда $u\varphi=a_1(e_1\varphi )+...+a_n(e_n\varphi )$, где $e_1\varphi ,...,e_n\varphi$ -- ортонормированная база. Поэтому

$$(u\varphi ,u\varphi )= a_1\overline{a_1}+...+a_n\overline{a_n}=(u,u).$$

Из этой теоремы следует, что матрица перехода от ортонормированной базы к ортонормированной базе ортогональна (унитарна).

9.7.2. Теорема. 1. Пусть A -- нормальная матрица. Тогда существует унитарная матрица T, что K=T^-1AT -- диагональная матрица. 2. Пусть A -- вещественная нормальная матрица. Тогда существует ортогональная матрица T, что K=T^-1AT -- клеточно-диагональная матрица и каждая ее клетка либо одномерна, то есть имеет вид [a], где a -- вещественный характеристический корень A, либо двумерна и имеет вид

$$r\left[ \begin{array}{rr} \cos a&-\sin a \\ \sin a & \cos a \\ \end{array} \right],$$

причем $r(\cos a+i\sin a)$ -- невещественный характеристический корень A.

Доказательство. Пусть $A\in M_n(k),\ V=k^n$ и $\varphi$ -- линейное преобразование V, матрица которого в стандартной базе V совпадает с A. Тогда $\varphi$ нормально и существует ортонормированная база, в которой матрица $\varphi$ имеет вид K. При этом K=T^-1AT, где T -- матрица перехода от ортонормированной базы к ортонормированной базе, то есть T - унитарная (ортогональная) матрица.

9.7.3. Теорема. 1. Ортогональное (унитарное) преобразование нормально. 2. Если a -- характеристический корень унитарного преобразования, то |a|=1. 3. Для любого ортогонального преобразования $\varphi$ существует ортонормированная база, в которой матрица $\varphi$ -- клеточно диагональная матрица с диагональными клетками размерности 1 и 2. Одномерные клетки имеют вид [1] или [-1], а двумерные -- вид

$$\left[ \begin{array}{rr} \cos a&-\sin a \\ \sin a & \cos a \\ \end{array} \right].$$

Доказательство. Первый пункт очевиден, поскольку $\varphi \varphi ^{\star}=\varepsilon$. 2. Если u -- собственный вектор для $\varphi$, соответствующий корню a, то $v=v\varphi \varphi ^{\star}=a\overline{a}v$, откуда $a\overline{a}=1$. Третий пункт следует из первых двух и теоремы 9.6.5.

9.8. Самосопряженные преобразования

Преобразование, совпадающее со своим сопряжением преобразованием, называется самосопряженным или симметрическим. Матрица A над полем комплексных чисел, совпадающая со своей сопряженной матрицей $A^{\star}$, называется эрмитовой. Вещественная эрмитова матрица является симметрической, вещественная симметрическая матрица эрмитова. Матрица самосопряженного преобразования в ортонормированной базе эрмитова. Наоборот, любая эрмитова (соответственно, вещественная симметрическая матрица) является матрицей, вычисленной в ортонормированной базе, некоторого самосопряженного преобразования унитарного (соответственно, евклидова) пространства.

9.8.1. Теорема. 1. Характеристические корни самосопряженного преобразования -- вещественные числа. 2. Характеристические корни эрмитовой матрицы - вещественные числа. 3. Если $\varphi$ -- самосопряженное преобразование, то $(v\varphi ,v)$ -- вещественное число для любого вектора v.

Доказательство. Пусть вначале $\varphi$ -- симметрическое преобразование унитарного пространства $V\ a$ -- его характеристический корень. Тогда существует ненулевой вектор v, для которого $v\varphi=av$. Поскольку

$$a(v,v)=(v\varphi ,v)=(v,v\varphi )=\overline{a}(v,v),$$

числа a и $\overline{a}$ равны, то есть a -- вещественное число. Отсюда следует пункт 2, из которого вытекает справедливость пункта 1 для евклидовых пространств. 3. $(v\varphi ,v)=(v,v\varphi )=\overline{(v\varphi ,v)}$.

9.8.2. Теорема. 1. Для любого самосопряженного преобразования существует ортонормированная база, в которой матрица этого преобразования -- вещественная диагональная матрица. 2. Для любой эрмитовой (вещественной симметрической) матрицы A существует унитарная (ортогональная) матрица T, для которой T^-1AT -- вещественная диагональная матрица.

Доказательство. Эта теорема (с учетом предыдущей теоремы) -- частный случай теорем 9.6.4, 9.6.5 и 9.7.2.

9.9. Неотрицательные преобразования

Самосопряженное преобразование $\varphi$ называется неотрицательным, если $(v\varphi ,v)$ -- вещественное неотрицательное число для любого вектора v.

Теорема. 1. Самосопряженное преобразование тогда и только тогда является неотрицательным, когда все его характеристические корни неотрицательны. 2. Для неотрицательного преобразования $\varphi$ определено значение $\sqrt{\varphi}$ функции $f(x)=\sqrt{x}$ арифметического квадратного корня. Преобразование $\psi =\sqrt{\varphi}$ является единственным неотрицательным линейным преобразованием, для которого $\psi ^2=\varphi$.

Доказательство. 1. Пусть $\varphi$ неотрицательно. Поскольку $\varphi$ -- самосопряженное преобразование, все его характеристические корни вещественны и, следовательно, являются собственными значениями. Пусть a -- характеристический корень, v -- соответствующий собственный вектор. Тогда

$$a(v,v)=(v\varphi ,v)\geq 0,$$

откуда $a\geq 0$. Пусть все характеристические корни самосопряженного преобразования $\varphi$ неотрицательны. Поскольку существует ортонормированная база e₁,...,e₂, состоящая из собственных векторов преобразования $\varphi$ с неотрицательными собственными значениями a₁,...,a_n, то для любого вектора v=t₁e₁+...+t_ne_n

$$(v\varphi ,v)=(a_1t_1e_1+...+a_nt_ne_n,t_1e_1+...+t_ne_n) =$$

$$=a_1\vert t_1\vert^2+...+a_n\vert t_n\vert^2\geq 0.$$

2. Поскольку существует ортонормированная база, в которой матрица $\varphi$ -- это диагональная матрица D с диагональными элементами $a_1\geq 0,...,a_n\geq 0$, жорданова форма матрицы $\varphi$ совпадает с D и поэтому для D определено значение функции $\sqrt{x}$ -- это диагональная матрица S с диагональными элементами $\sqrt{a_1},...,\sqrt{a_n}$. Пусть $\psi$ -- линейное преобразование, которое в той же базе имеет своей матрицей матрицу S. Тогда $\psi$ неотрицательно, $\psi ^2=\varphi$ и $\psi =\sqrt{\varphi}$. Пусть $\tau$ -- неотрицательное преобразование, для которого $\tau ^2=\varphi$. В некоторой ортонормированной базе матрица $\tau$ -- диагональная матрица T с неотрицательными диагональными элементами b₁,..,b_n. Поскольку T²=R -- это матрица $\varphi$ в той же базе, b₁²,...,b_n² -- характеристические корни преобразования $\varphi$, откуда $T = \sqrt{R}$ и $\tau =\psi =\sqrt{\varphi }$. Теорема доказана.

В связи с этой теоремой естественно назвать эрмитову матрицу неотрицательной, если все ее характеристические корни неотрицательны. Назовем эрмитову матрицу положительной (или положительно определенной) если все ее характеристические корни положительны.

9.10. Сингулярные числа

Два преобразования $\varphi$ и $\psi$ евклидова или унитарного пространства называются изометрическими, если $(u\varphi ,v\varphi )= (u\psi ,v\psi )$ для любых векторов u,v.

Теорема. Пусть $\varphi$ -- произвольное преобразование евклидова или унитарного пространства. 1. Преобразование $\varphi \varphi ^{\star}$ неотрицательно и $\psi =\sqrt{\varphi \varphi ^{\star}}$ изометрично с $\varphi$. Назовем характеристические корни преобразования $\sqrt{\varphi \varphi ^{\star}}$ сингулярными числами преобразования $\varphi$ (они являются вещественными неотрицательными числами). 2. Если преобразование $\varphi$ нормально, то его сингулярные числа совпадают с модулями характеристических корней преобразования $\varphi$.

Доказательство. 1. $(\varphi \varphi ^{\star})^{\star}= \varphi \varphi ^{\star}$ -- самосопряженное преобразование и для любого вектора u

Поэтому $\varphi \varphi ^{\star}$ -- неотрицательное преобразование и $\psi =\sqrt{\varphi \varphi ^{\star}}$ также неотрицательно. Далее,

$$(u\varphi ,v\varphi )=(u,v\varphi \varphi ^{\star}) =(u,v\psi ^2) =(u\psi ^{\star},v\psi)=(u\psi ,u\psi),$$

поэтому $\varphi$ и $\psi$ изометричны. 2. Пусть $\varphi$ нормально, тогда в некоторой ортонормированной базе матрица $\varphi$ -- диагональная матрица с характеристическими корнями a₁,..,a_n преобразования $\varphi$ на диагонали, матрица преобразования $\varphi \varphi ^{\star}$ -- диагональная матрица с диагональными элементами $a_1\overline{a_1}= \vert a_1\vert^2,...,a_n\overline{a_n}=\vert a_n\vert^2$, а матрица преобразования $\psi =\sqrt{\varphi \varphi ^{\star}}$ -- диагональная матрица с диагональными элементами |a₁|,...,|a_n|, которые являются характеристическими корнями преобразования $\psi$.

9.11. Полярное разложение

Теорема. 1. Пусть $\varphi$ -- преобразование евклидова (унитарного) пространства. Тогда существует неотрицательное преобразование $\psi$ и ортогональное (унитарное) преобразование $\zeta$, что

$$\varphi =\psi\zeta.$$

(Это разложение в произведение называется полярным разложением преобразования $\varphi$). Преобразование $\psi$ определяется для $\varphi$ однозначно: оно равно $\sqrt{\varphi \varphi ^{\star}}$ и его характеристические корни -- сингулярные числа преобразования $\varphi$. Если $\varphi$ невырождено, то $\zeta$ также определяется однозначно. 2. Пусть A -- вещественная (комплексная) матрица. Тогда существует неотрицательная матрица B и ортогональная (унитарная) матрица C, что A=BC. Матрица B определяется однозначно (она равна $\sqrt{A\overline{A}^{\prime}}$). Если A невырождена, то C также определяется однозначно.

Доказательство. Достаточно доказать только первый пункт, поскольку второй вытекает из первого пункта и из соответствия между матрицами и линейными преобразованиями. По предыдущей теореме преобразования $\varphi$ и $\psi =\sqrt{\varphi \varphi ^{\star}}$ изометричны, то есть $(u\varphi ,v\varphi )=(u\psi ,\psi )$ для любых векторов u,v. Пусть e₁,...,e_r -- ортонормированная база подпространства $V\varphi$ и $e_i=x_i\varphi$ для некоторых векторов $x_i\ (i=1,...,r)$. Положим $v_i=x_i\psi \ (i=1,...,r)$. Из изометричности $\varphi$ и $\psi$ следует, что v₁,...,v_r -- ортонормированный набор векторов из $V\psi$. Дополним e₁,...,e_r до ортонормированной базы e₁,...,e_n пространства V, а v₁,...,v_r -- до ортонормированной базы v₁,...,v_n. Существует линейное преобразование $\zeta$ пространства V, для которого $v_i\zeta=e_i\ (i=1,...,n)$. Это преобразование переводит ортонормированную базу в ортонормированную базу, поэтому оно ортогонально (унитарно). Покажем, что $\varphi =\psi\zeta$. Пусть $u\in V$ и $u\varphi =a_1e_1+...+a_re_r$ для некоторых чисел a₁,...,a_r. Тогда

$$(u-(a_1x_1+...+a_rx_r))\varphi =0.$$

Поскольку $\varphi$ и $\psi$ изометричны,

$$(u-(a_1x_1+...+a_rx_r))\psi =0$$

и

$$u\psi =(a_1x_1+...+a_rx_r)\psi= a_1v_1+...+a_rv_r.$$

Отсюда $a\psi\zeta =a\varphi$ и, значит, $\varphi =\psi\zeta$. Если $\varphi =\tau\xi$, где $\tau$ неотрицательно, а $\xi$ ортогонально (унитарно), то

$$\varphi \varphi ^{\star}=\tau\xi\xi^{\star}\tau^{star} =\tau^1$$

и $\tau =\sqrt{\varphi \varphi ^{\star}}=\psi$. Если $\varphi$ невырождено, то $\psi$ также невырождено и $\zeta = \psi^{-1} \varphi$ однозначно определяется преобразованием $\varphi$. Теорема доказана.