10. Квадратичные формы.

10.1. Определение. Квадратичной формой от n переменных над полем k назовем однородный многочлен степени 2 от переменных x₁,...,x_n с коэффициентами из k, т.е. многочлен вида

$$f=\sum_{1\leq i\leq j\leq n}f_{ij}x_ix_j,\ f_{ij}\in k. \hspace{4cm} (1)$$

Если в выражении (1) отказаться от условия $i\leq j$, то коэффициенты при x_ix_j однозначно формой не определяются. Например, форму x₁²+3x₁x₂-x₂² можно записать также в виде x₁²+2x₁x₂+x₂x₁-x₂². В дальнейшем будем предполагать, что поле k имеет характеристику, отличную от 2, т.е. в нем $1+1=2\neq 0$. В этом случае положим

$$a_{ii}=f_{ii}\ (i=1,...,n),\ a_{ij}=a_{ji}=f_{ij}/2\mbox{ при } (i<j).$$

и вместо представления (1) будем рассматривать представление

$$f=\sum_{1\leq i, j\leq n}a_{ij}x_ix_j. \hspace{5cm} (2)$$

Матрицу $A=(a_{ij})_{n\times n}$ назовем матрицей квадратичной формы f. Из определения следует, что A -- симметрическая матрица, т.е. она совпадает со своей транспонированной матрицей $A^{\prime}$.

Пример. Матрицей квадратичной формы x₁²+3x₁x₂-x₂² будет $\left[ \begin{array}{rr} 1&3/2\\ 3/2&-1 \end{array} \right]$.

Обозначим через X строку (x₁,...,x_n), которую будем понимать как матрицу с одной строкой и n столбцами. Тогда равенство (2) можно переписать в матричном виде:

$$f=XAX^{\prime}. \hspace{4cm} (3)$$

10.2. Эквивалентные формы. Канонический вид.

Пусть имеются две квадратичные формы:

$$f=\sum_{1\leq i, j\leq n}a_{ij}x_ix_j=XAX^{\prime}$$

и

$$g=\sum_{1\leq i, j\leq n}b_{ij}y_iy_j=YBY^{\prime}$$

от переменных x₁,...,x_n и y₁,...,y_n, соответственно. Будем говорить, что формы f и g эквивалентны (обозначение $f\sim g$), если существует невырожденная линейная замена переменных над полем k

$$\left\{ \begin{array}{ccc} x_1&=&t_{11}y_1+t_{21}y_2+...+t_... ...t_{2n}y_2+...+t_{nn}y_n, \end{array} \right. \hspace{1cm} (4)$$

переводящая форму f в g. Рассмотрим матрицу замены (она по определению невырождена)

$$T=\left[ \begin{array}{cccc} t_{11}&t_{12}&...&t_{1n}\\ t... ...ots&\vdots\\ t_{n1}&t_{n2}&...&t_{nn} \end{array} \right] .$$

Равенства (4) можно переписать в матричном виде: X=YT.

Проверим три условия эквивалентности (рефлексивность, симметричность и транзитивность). 1) Очевидно, что $f\sim f$ (матрица замены будет единичной). 2) Если $f=XAX^{\prime}\sim g=YBY^{\prime}$ и X=YT -- соответствующая замена, то обратная замена Y=XT^-1 переводит форму g в f, т.е. $g\sim f$. 3) Пусть $f=XAX^{\prime}\sim g=YBY^{\prime},\ g\sim h=ZCZ^{\prime}$ и $X=YT_1,\ Y=ZT_2$ -- соответствующие замены. Тогда замена X=ZT₂T₁ с матрицей T₂T₁ переводит форму f в h, т.е. $f\sim h$. Отметим также, как меняется матрица формы $f=XAX^{\prime}$ в результате замены переменных X=YT. Имеем

$$f=XAX^{\prime}=(YT)A(YT)^{\prime}=Y(TAT^{\prime})Y^{\prime}.$$

Таким образом матрица формы изменяется по правилу

$$A\longrightarrow TAT^{\prime}. \hspace{2cm} (5)$$

Замечание. Так как ранг матрицы сохраняется при умножении данной матрицы слева или справа на невырожденную матрицу, то из формулы (5) следует, что ранги матриц эквивалентных форм одинаковы.

Будем говорить, что форма

$$f=\sum_{1\leq i, j\leq n}a_{ij}x_ix_j=XAX^{\prime}$$

имеет канонический вид, если она является суммой квадратов переменных с некоторыми коэффициентами. Это равносильно тому, что a_ij=0 при $i\neq j$, т.е. матрица A -- диагональная.

Теорема. Всякая квадратичная форма эквивалентна некоторой форме канонического вида.

Доказательство. Пусть вид данной формы $f=XAX^{\prime}$ не канонический. Будем доказывать, что эта форма приводится к каноническому виду с помощью невырожденной замены переменных, индукцией по числу этих переменных. Разберем два возможных случая. 1). Предположим, что некоторый коэффициент a_ii отличен от нуля. Без ограничения общности можно предполагать, что это -- коэффициент a₁₁ (в противном случае мы подходящим образом перенумеруем переменные). Выделим в сумме $f=\sum_{1\leq i, j\leq n}a_{ij}x_ix_j$ все слагаемые, зависящие от x₁. Они имеют вид $a_{11}x_1^2,\ a_{1i}x_1x_i$ и a_i1x_ix₁ при $i\neq j$. Так как a_1ix₁x_i+ a_i1x_ix₁=2a_1ix₁x_i, то такие же члены, зависящие от x₁, имеет многочлен

a₁₁^-1(a₁₁x₁+a₁₂x₂+...+a_1nx_n)².

Введем новые переменные y₁,...,y_n, которые выражаются через старые следующим образом:

$$y_1=a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n,\ y_2=x_2,...,y_n=x_n.$$

Обратным выражением будет

$$x_1=a_{11}^{-1}(x_1-a_{12}x_2-...-a_{1n}x_n),\ x_2=y_2,...,x_n=y_n.$$

По построению форма g=f-a₁₁y₁² зависит только от переменных y₂,...,y_n. В силу индукционного предположения найдется невырожденная замена этих переменных

$$\left\{ \begin{array}{ccc} y_2&=&t_{22}z_2+...+t_{n2}z_n\... ...vdots\\ y_n&=&t_{2n}z_2+...+t_{nn}z_n, \end{array} \right.$$

которая приводит форму g к каноническому виду, например, к виду b₂z₂²+...+b_nz_n². Дополняя эту замену выражением y₁=z₁, мы находим невырожденную замену переменных, приводящую форму f к виду a₁₁^-1z₁+b₂z₂²+...+b_nz_n². 2) Рассмотрим второй случай, когда в форме f все коэффициенты при квадратах переменных равны нулю. Так как форма ненулевая, то в этом случае некоторый коэффициент a_ij отличен от нуля. Пусть для определенности $a_{12}\neq 0$. Рассмотрим следующую замену переменных

$$x_1=y_1+y_2,\ x_2=y_1-y_2,\ x_3=y_3,...,x_n=y_n.$$

Эта замена невырожденная, так как определитель соответствующей матрицы замены равен $-2\neq 0$. В новых переменных форма f уже имеет при y₁² ненулевой коэффициент 2a₁₂. Это возвращает нас к первому случаю. Теорема доказана.

Замечание. Из доказательства теоремы получается практический метод, который носит название метода Лангранжа, приведения квадратичной формы к каноническому виду.

10.3. Действительные формы. Закон инерции.

Ниже в этом подпункте мы будем рассматривать только формы над полем действительных чисел. Такие формы называются действительными. Из предыдущего подпункта следует, что действительную квадратичную форму $f=XAX^{\prime}$ можно привести к следующему каноническому виду

a₁y₁²+...+a_sy_s²-a_s+1y_s+1²-...-a_ry_r²+0y_r+1²+ ...+0y_n²,

где все числа a₁,...,a_r положительны. Сделав замену

$$y_1=z_1/\sqrt{a_1},...,y_r=z_r/\sqrt{a_r},\ y_{r+1}=z_{r+1},..., y_n=z_n,$$

мы приведем форму f к виду

$$z_1^2+...+z_s^2-z_{s+1}^2-...-z_r^2+0z_{r+1}^2+ ...+0z_n^2,\hspace{1cm} (6)$$

который называется нормальным. Число s квадратов переменных, входящих в выражение (6) с коэффициентом +1, называется положительным индексом инерции формы f, а число r-s квадратов переменных, входящих в выражение (6) с коэффициентом -1, называется отрицательным индексом инерции формы f. Форму f можно разными способами приводить к нормальному виду. Поэтому корректность определения индексов обеспечивается следующим утверждением.

Теорема (закон инерции). Положительный и отрицательный индексы инерции зависят только от самой формы и не зависят от способа приведения этой формы к нормальному виду.

Доказательство. Пусть форма $f=XAX^{\prime}$ приводится к нормальному виду

g=g(y₁,...,y_n)=

$$=y_1^2+...+y_s^2-y_{s+1}^2-...y_r^2+0y_{r+1}^2+ ...+0y_n^2.\hspace{1cm} (7)$$

Так как ранг матрицы формы g, равный r, совпадает с рангом матрицы A, то число r однозначно определяется формой f. Предположим, что форма f приводится также к другому нормальному виду

h=h(z₁,...,z_n)=

$$=z_1^2+...+z_k^2-z_{k+1}^2-...z_r^2+0z_{r+1}^2+ ...+0z_n^2,\hspace{1cm} (8)$$

где $s\neq k$ (пусть для определенности s<k). Так как $f\sim g$ и $f\sim h$, то $g\sim h$. Поэтому существует невырожденная линейная замена

$$\left\{ \begin{array}{ccc} z_1&=&t_{11}y_1+t_{21}y_2+...+t_... ..._n&=&t_{1n}y_1+t_{2n}y_2+...+t_{nn}y_n, \end{array} \right. ,$$

переводящая форму h в g. Рассмотрим следующую систему однородных линейных уравнений относительно неизвестных y₁,...,y_n:

$$\left\{ \begin{array}{ccl} y_1&=&0\\ \vdots&\vdots&\vdots... ...1n}y_1+...+t_{nn}y_n&=&0. \end{array} \right.\hspace{3cm} (9)$$

В этой системе число уравнений меньше числа неизвестных. Поэтому она имеет ненулевое решение y⁰=(0,...,0,a_s+1,...,a_n). Положим z⁰=(b₁,...,b_n)=y⁰T, где T=(t_ij) -- матрица нашей замены. Так как матрица T невырождена, то вместе со строкой y⁰ ненулевой будет строка z⁰. Однако из системы (9) следует, что b_k+1=0,...,b_n=0. Напомним, что замена Z=YT переводит форму h в g, откуда g(y⁰)=h(z⁰) Имеем $g(y^0)=-a_{s+1}^2-...-a_r^2\leq 0$; h(z⁰)=b₁²+...+b_k²>0, так как хотя бы одно из чисел b₁,...,b_k отлично от нуля. Полученное противоречие с равенством g(y⁰)=h(z⁰) показывает, что наше предположение о том, что $s\neq k$, неверно. Теорема доказана.

10.4. Приведение действительной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием.

Пусть $f=XAX^{\prime}$ -- действительная квадратичная форма с симметрической матрицей A. По теореме 9.8.2 существует ортогональная матрица T, для которой $TAT^{-1}=TAT^{\prime}=D$ -- диагональная матрица, диагональные элементы которой совпадают с характеристическими корнями матрицы A. Для квадратичной формы f рассмотрим теперь линейную замену переменных X=YT с матрицей T. После этой замены форма f становится канонической с матрицей D. Таким образом, нами доказана следующая

Теорема. Каждая действительная квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду заменой переменных с ортогональной матрицей (ортогональной заменой). При этом коэффициенты канонического вида совпадают с характеристическими корнями матрицы исходной формы.

10.5. Положительно определенные формы

Определение. Действительная квадратичная форма f(x₁,...,x_n) называется положительно определенной, если для любого ненулевого набора (a₁,...,a_n) действительных значений переменных число f(a₁, ...,a_n) больше нуля.

Примером положительно определенной формы может служить форма x₁²+...+x_n². Пусть A=(a_ij) -- квадратная матрица размерности n. Назовем главными минорами этой матрицы определители вида

$$D_k(A)=\left\vert \begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&...&a_{... ...&a_{kk} \end{array} \right\vert,\ \mbox{ где }1\leq k\leq n.$$

Теорема. Пусть $f=XAX^{\prime}$ -- действительная квадратичная форма от n переменных. Тогда равносильны следующие условия. 1. Форма f эквивалентна форме y₁²+y₂²+...+y_n². 2. Форма f положительно определена. 3. Все главные миноры матрицы A больше нуля.

Доказательство. 1. $\Longleftrightarrow$ 2. Заметим, что положительная определенность формы сохраняется при эквивалентности. На самом деле, пусть форма f положительно определена, $f\sim g$ и X=YT -- невырожденная замена переменных, переводящая форму f в g. Если a=(a₁,...,a_n) - ненулевой набор действительных чисел, то набор b=aT также отличен от нулевого. Имеем g(a)=f(b)>0. Поэтому форма g положительно определена. Пусть теперь выполняется условие 1. Так как форма y₁²+y₂²+...+y_n² положительно определена, то, в силу нашего замечания, положительно определенной будет и эквивалентная ей форма f. Пусть выполняется условие 2. Приведем форму f к нормальному виду

g=g(y₁,...,y_n)=

$$y_1^2+...+y_s^2-y_{s+1}^2-...y_r^2+0y_{r+1}^2+ ...+0y_n^2.\hspace{1cm} (7)$$

Если s<n, то $g(0,0,...,0,1)\leq 0$. Это противоречит положительной определенности формы f. 1. $\Longrightarrow$ 3. Пусть невырожденная замена X=YT переводит форму f в форму y₁²+y₂²+...+y_n². Из сравнения матриц форм имеем $TAT^{\prime}=E$. Отсюда $\vert T\vert\vert A\vert\vert T^{\prime}\vert=\vert A\vert\vert T\vert^2=\vert E\vert=1$. Следовательно, D_n(A)>0. Предположим, что некоторый главный минор $D_k(A)\leq 0$. Рассмотрим форму h от k переменных x₁,...,x_k, равную f(x₁,...,x_k,0,...,0). Матрица этой формы равна

$$\left[ \begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&...&a_{1k}\\ a_{... ...ots&\vdots\\ a_{k1}&a_{k2}&...&a_{kk} \end{array} \right].$$

и ее определитель равен D_k(A). Из предыдущего следует, что форма h не положительно определена. Пусть (a₁,...,a_k) -- ненулевой набор действительных чисел такой, что $h(a_1,....,a_k)\leq 0$. Имеем $f(a_1,...,a_k,0,...,0)= h(a_1,....,a_k)\leq 0$, что противоречит положительной определенности формы f. 3. $\Longrightarrow$ 1. Пусть все главные миноры матрицы A больше нуля. Рассмотрим форму g(x₁,...,x_n-1)=f(x₁,...,x_n-1,0). Ее матрица равна

$$\left[ \begin{array}{llll} a_{11}&a_{12}&...&a_{1,n-1}\\ ... ...\ a_{n-1,1}&a_{n-1,2}&...&a_{n-1,n-1} \end{array} \right].$$

Используя индукцию по числу переменных, мы можем утверждать, что существует невырожденное линейное преобразование переменных

$$\left\{ \begin{array}{lll} x_1&=&t_{11}y_1+t_{21}y_2+...+t_... ...y_1+t_{2,n-1}y_2+...+t_{n-1,n-1}y_{n-1}, \end{array} \right.$$

приводящее форму g к виду y₁²+y₂²+...+y_n-1². Рассмотрим матрицу

$$T=\left[ \begin{array}{lllll} t_{11}&t_{12}&...&t_{1,n-1}&0... ...-1,2}&...&t_{n-1,n-1}&0\\ 0&0&...&0&1 \end{array} \right] .$$

порядка n и замену X=YT переменных формы f. Пусть h(Y)=f(YT). Матрица $TAT^{\prime}$ формы h имеет вид

$$\left[ \begin{array}{lllll} 1&0&...&0&b_{1n}\\ 0&1&...&0&... ...\\ b_{n1}&b_{n2}&...&b_{n,n-1}&b_{nn} \end{array} \right] ,$$

а сама форма представляется как

y₁²+y₂²+...+y_n-1²+b_nny_n²+2b_1ny₁y_n+... +2b_n-1,ny_n-1y_n.

Новая замена

$$y_1=z_1-b_{1n}z_n,....,y_{n-1}=z_{n-1}-b_{n-1,n}z_n,\ y_n=z_n$$

приводит форму h к виду l= z₁²+...+z_n-1²+cz_n². Осталось показать, что c>0, тогда форма l, а вместе с ней и f, будет положительно определена. Число c является определителем матрицы формы l. Пусть X=ZS -- невырожденная замена переменных, переводящая форму f в l. Тогда из предыдущего пункта доказательства следует, что c=|A||S|². Так как |A|>0, то и c>0. Теорема доказана.

10.6. Приведение к каноническому виду пары форм.

В этом разделе рассмотрим следующую задачу. Пусть имеются две действительные квадратичные формы $f=XAX^{\prime}$ и $g=XBX^{\prime}$ от переменных x₁,...,x_n. Существует ли единая невырожденная замена переменных, приводящая обе формы одновременно к каноническому виду? Вообще говоря, ответ на этот вопрос отрицательный, что следует из упражнения, которое мы приведем ниже. Однако в следующем важном случае ответ получается положительным.

Теорема. Пусть одна из форм $f=XAX^{\prime}$ и $g=XBX^{\prime}$ положительно определена. Тогда существует невырожденная замена переменных, приводящая одновременно обе формы к каноническому виду.

Доказательство. Предположим для определенности, что форма g положительно определена. Тогда существует невырожденная замена переменных, переводящая форму g в сумму квадратов переменных. Это же преобразование применяем к форме f. Чтобы не вводить новых обозначений, будем сразу предполагать, что g=x₁²+....+x_n². В пункте 10.4 мы доказали, что форму f с помощью некоторой ортогональной замены переменных X=YT можно привести к каноническому виду. Применим это же преобразование к форме g:

$$XEX^{\prime}=YTET^{\prime}Y^{\prime}=YEY^{\prime}= y_1^2+....+y_n^2,$$

т.е. форма f осталась суммой квадратов переменных. Итак, мы нашли преобразование, приводящее одновременно обе формы к каноническому виду. Теорема доказана.

Упражнение. 1. Доказать, что если действительная невырожденная линейная замена переменных X=YT приводит форму f=2x₁x₂ к каноническому виду, то матрица T имеет вид

$$\left[ \begin{array}{rr} a&b\\ -ac&bc \end{array} \right] ,$$

где a,b,c -- ненулевые действительные числа. 2. Доказать, что невырожденная линейная замена X=YT с действительной матрицей

$$T=\left[ \begin{array}{rr} a&b\\ -ac&bc \end{array} \right]$$

не переводит форму g=x₁²-x₂² в форму канонического вида.