Краткий конспект курса высшей алгебры

для студентов технического факультета ВКИ Новосибирского государственного университета

В.Д.Мазуров, О.В.Мазуров, Н.С.Романовский

 
  Программа курса

1. Числа
   Натуральные числа. Принцип математической индукции. Свойства операций сложения и умножения натуральных чисел. Кольцо целых чисел. Поля рациональных и вещественных (действительных) чисел. Аксиомы поля. Поле комплексных чисел: определение; свойства мнимой единицы, вещественной и мнимой частей комплексного числа, сопряженного комплексного числа, модуля и аргумента комплексного числа. Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме. Формулы Муавра для решения уравнения xⁿ = a в поле комплексных чисел.
   
   
2. Векторные пространства
   Векторное пространство строк, его свойства. Аксиомы абстрактного векторного пространства. Линейная комбинация и оболочка набора векторов, тривиальная и нетривиальная линейные комбинации, линейная зависимость векторов и линейная выразимость наборов векторов, эквивалентные наборы: связи между этими понятиями. Элементарные преобразования наборов. База и ранг наборов векторов и оболочек. Конечномерное векторное пространство: база, координатная строка, связь с пространством строк. Подпространство: включение базы подпространства в базу пространства, сумма и пересечение подпространств, связь между их размерностями. Прямая сумма подпространств. Внешняя прямая сумма пространств. Фактор-пространство. Матрица набора векторов. Элементарные преобразования матриц. Алгоритм Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду. Линейное отображение (оператор): определение; образ, ядро, ранг и дефект, связь между ними. Сложение, умножение линейных отображений и умножение отображения на скаляр: свойства этих операций. Матрица линейного отображения, операции над матрицами. Строчный ранг и дефект матрицы.
   
   
3. Матрицы и определители.
   Сложение и умножение матриц. Кольцо квадратных матриц над полем: проверка аксиом, разложение матрицы в произведение элементарных и диагональной матриц. Определитель, его поведение при простейших преобразованиях строк. Определитель произведения матриц. Транспонирование матриц. Определитель транспонированной матрицы. Разложение определителя по произвольной строке и произвольному столбцу. Обратная матрица: существование, вычисление. Матрица перехода от одной базы векторного пространства к другой, ее невырожденность. Изменение координат при изменении базы. Ранг матрицы: теорема о ранге. Ранг суммы и произведения матриц.
   
   
4. Системы линейных уравнений
   Система линейных уравнений над полем. Решение системы. Векторная и матричная форма записи системы. Матрица и расширенная матрицы системы. Системы линейных уравнений с обратимой матрицей. Эквивалентность систем линейных уравнений. Метод Гаусса. Критерий совместности системы. Общее решение системы, число свободных неизвестных. Фундаментальный набор решений однородной системы. Связь между общими решениями однородной и неоднородной систем. Системы линейных уравнений с точки зрения линейных отображений. Теоремы Фредгольма.
   
   
5. Полиномы
   Полиномы над кольцом. Кольцо полиномов. Деление с остатком. Делители полинома. Наибольший общий делитель двух полиномов: существование и вычисление (алгоритм Евклида). Взаимно простые полиномы. Неразложимые полиномы, разложение полинома в произведение неразложимых. Корни и значения. Теорема Безу. Производная. Кратные корни. Формула Тейлора. Интерполяционные полиномы Лагранжа и Лагранжа - Сильвестра. Существование корня полинома в расширении поля. Разложение полинома в произведение линейных множителей. Формулы Виета. Полиномы от нескольких неизвестных. Симметрические полиномы, их выражение через основные симметрические полиномы. Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. Неразложимые полиномы над полями комплексных и вещественных чисел. Связь между разложимостью полиномов над полем рациональных чисел и над кольцом целых чисел. Алгоритмическая разрешимость вопроса о разложимости полинома над Z. Признак неразложимости полинома над Z (признак Эйзенштейна).
   
   
6. Линейные преобразования векторных пространств
   Определение линейного преобразования. Матрица линейного преобразования. Координаты образа. Связь между алгеброй линейных преобразований и алгеброй матриц. Связь между матрицами линейного преобразования в разных базах. Подобие матриц. Образ, ядро, ранг и дефект линейного преобразования. Невырожденные преобразования. Инвариантное подпространство и ограничение линейного преобразования на инвариантном подпространстве. Собственные векторы, собственные значения, характеристические корни. Значения полинома от матрицы и от линейного преобразования. Теорема Гамильтона - Кели.
   
   
7. Жорданова база для линейного преобразования
   Ядерные и корневые разложения пространства. Нильпотентное преобразование: ниль-слой, жорданов набор, жорданова таблица и ее элементарные преобразования, существование жордановой базы, жорданова матрица, связь числа ее жордановых клеток и их размерностей с рангами степеней нильпотентного пробразования. Жорданова база для произвольного преобразования. Матричная форма теоремы Жордана.
   
   
8. Функции от матриц и линейных преобразований
   Значение полинома от матрицы - формула для вычисления с использованием жордановой формы. Значение скалярной функции от матрицы. Значение скалярной функции от линейного преобразования.
   
   
9. Линейные преобразования евклидовых и унитарных пространств
   Скалярное произведение. Евклидовы и унитарные пространства: ортогональные наборы векторов, процесс ортогонализации, существование ортонормированной базы, скалярное произведение в ортонормированной базе. Ортогональное дополнение к подпространству, его свойства. Сопряженное линейное преобразование, сопряженная матрица и их свойства. Нормальные преобразования и матрицы: свойства собственных векторов, канонический вид матрицы нормального преобразования. Ортогональные и унитарные преобразования. Канонический вид их матриц. Унитарность матрицы перехода от одной ортонормированной базы к другой. Самосопряженные преобразования и эрмитовы матрицы, свойство их характеристических корней, канонический вид. Неотрицательные преобразования, существование неотрицательного квадратного корня из неотрицательного преобразования. Сингулярные числа. Полярное разложение линейных преобразований и матриц.
   
   
10. Квадратичные формы
    Матрица квадратичной формы, ее изменение при линейной замене переменных. Алгоритм Лагранжа приведения квадратичной формы к диагональному виду. Приведение вещественной квадратичной формы к главным осям. Закон инерции вещественной квадратичной формы. Положительно определенные квадратичные формы: определение, критерий положительной определенности в терминах значений и главных определителей. Одновременная диагонализация двух форм.
    
    
11. Подстановки
    Группа подстановок. Циклы, независимые циклы, разложение подстановки в произведение независимых циклов. Декремент подстановки. Четность подстановки. Разложение подстановки в произведение транспозиций, связь с четностью подстановки. Знак подстановки, его мультипликативность. Явная формула для определителя матрицы.

Учебники и задачники

Ван дер Варден Б.Л.	Алгебра.	М.:Наука, 1976.
Кострикин А.И.	Введение в алгебру.	М.:Наука, 1977.
Курош А.Г.	Курс высшей алгебры.	М.:Наука, 1968.
Мальцев А.И.	Основы линейной алгебры.	М.:Наука, 1970.
Проскуряков И.В.	Сборник задач по линейной алгебре.	М.: Наука, 1974.
Фаддеев Д.К., Соминский И.С.	Сборник задач по высшей алгебре.	М.: Наука, 1977.