В этом пункте с "чертоводюжинным" номером речь пойдет об одном важном классе функций, которому в теории чисел посвящены целые монографии (см., напр., книжку Г.Дэвенпорта "Мультипликативная теория чисел").
Определение. Функция q : R ® R (или, более общо, q : C ® C ) называется мультипликативной если:
1). Функция q определена всюду на N и существует а О N такой, что q ( а ) № 0.
2). Для любых взаимно простых натуральных чисел а 1 и а 2 выполняется q ( а 1 · а 2 ) = q ( а 1 ) · q ( а 2 ).
Пример 1. q ( а ) = а s , где s - любое (хоть действительное, хоть комплексное) число. Проверка аксиом 1) и 2) из определения мультипликативной функции не составляет труда, а сам пример показывает, что мультипликативных функций по меньшей мере континуум, т.е. много.
Перечислим, кое-где доказывая, некоторые свойства мультипликативных функций. Пусть всюду ниже q ( а ) - произвольная мультипликативная функция.
Свойство 1. q (1) = 1.
Доказательство. Пусть а - то самое натуральное число, для которого q ( а ) № 0. Тогда q ( а · 1) = q ( а ) · q (1) = q ( а ).
Ё
Свойство 2.
,
где р 1 , р 2 ,..., р n - различные простые числа.
Доказательство очевидно.
Ё
Свойство 3. Обратно, мы всегда построим некоторую мультипликативную функцию q ( a ), если зададим q (1) = 1 и произвольно определим q ( р a ) для всех простых р и всех натуральных a , а для остальных натуральных чисел доопределим функцию q ( a ) используя равенство
.
Доказательство сразу следует из основной теоремы арифметики.
Ё
Пример 2. Пусть q (1) = 1 и q ( р a ) = 2 для всех р и a . Тогда, для произвольного числа,
.
Свойство 4. Произведение нескольких мультипликативных функций является мультипликативной функцией.
Доказательство. Сначала докажем для двух сомножителей: Пусть q 1 и q 2 - мультипликативные функции q = q 1 · q 2 , тогда (проверяем аксиомы определения)
1) q (1) = q 1 (1) · q 2 (1) = 1 и, кроме того, существует такое a (это a = 1), что q ( a ) № 0.
2) Пусть ( a , b ) = 1 - взаимно просты. Тогда
q ( a · b ) = q 1 ( a · b ) · q 2 ( a · b ) =
= q 1 ( a ) q 1 ( b ) q 2 ( a ) q 2 ( b ) =
= q 1 ( a ) q 2 ( a ) · q 1 ( b ) q 2 ( b ) = q ( a ) q ( b ).
Доказательство для большего числа сомножителей проводится стандартным индуктивным рассуждением.
Ё
Введем удобное обозначение. Всюду далее, символом
будем обозначать сумму чего-либо, в которой суммирование проведено по всем делителям d числа n . Следующие менее очевидные, чем предыдущие, свойства мультипликативных функций я сформулирую в виде лемм, ввиду их важности и удобства дальнейших ссылок.
Лемма 1. Пусть
- каноническое разложение числа a О N , q - любая мультипликативная функция. Тогда:
Если a = 1, то считаем правую часть равной 1.
Доказательство. Раскроем скобки в правой части. Получим сумму всех (без пропусков и повторений) слагаемых вида
,
где 0 Ј b k Ј a k , для всех k Ј n . Так как различные простые числа заведомо взаимно просты, то
,
а это как раз то, что стоит в доказываемом равенстве слева.
Ё
Лемма 2. Пусть q ( a ) - любая мультипликативная функция. Тогда
,
- также мультипликативная функция.
Доказательство. Проверим для c ( a ) аксиомы определения мультипликативной функции.
1).
2). Пусть
и все р и q различны. Тогда, по предыдущей лемме, имеем: (благо, делители у чисел a и b различны)
Ё
Итак, я перечислил шесть свойств мультипликативных функций, которые пригодятся нам в дальнейшем. Просьба хорошенько их запомнить и не унывать даже в самой тяжелой жизненной ситуации.
Задачки |
1 . Предлагаю читателю самостоятельно доказать обратное утверждение к лемме 2 настоящего пункта, а именно, если
- мультипликативная функция и функция q ( n ) всюду определена хотя бы на N , то q ( n ) также обязана быть мультипликативной функцией. 2 . Пусть q ( p a ) = a для всех простых р . Вычислите а) q (864); б) q (49500). 3 . Пусть q ( p a ) = a для всех простых р . Вычислите
|
4 . Пусть вещественная мультипликативная функция f ( x ) определена и непрерывна для всех x > 0. Докажите, что f ( x ) = x s для некоторого s О R , т.е. примером 1 настоящего пункта исчерпываются все непрерывные мультипликативные функции. * |
* Самым первым на планете Земля этот факт установил О. Коши, интересовавшийся решениями функциональных уравнений следующих четырех видов:
f ( a + b ) = f ( a ) + f ( b ) ; f ( a + b ) = f ( a ) f ( b ) ;
f ( ab ) = f ( a ) + f ( b ) ; f ( ab ) = f ( a ) f ( b ) .
Он установил, что непрерывные решения этих уравнений имеют, соответственно, вид (в классе разрывных функций могут быть и другие решения):
Cx ; e Cx ; C ln x ; x C ( x > 0).