§4. Теория сравнений

Пункт 18. Теорема Эйлера и теорема Ферма.

В этом пункте я расскажу две знаменитые теоремы теории чисел и приведу несколько показательных примеров их удивительной работоспособности, проявляющейся при решении специфических школьных "олимпиадных" задач, вообще говоря, никому не нужных в народном хозяйстве. Однако мы оставим в стороне рассуждения об утилитарном использовании тех или иных творений математической мысли и человеческой мысли вообще, ибо такие рассуждения могут привести, скажем, к утверждению о бесполезности Джоконды или симфонии № 40 Вольфганга Амадея Моцарта. Первая теорема этого пункта носит имя Леонарда Эйлера и, как мне кажется, настал черед небольшого исторического отступления об этом великом математике.

Небольшое эссе про Эйлера

С точки зрения простого обывателя все гениальные люди очень страдали и были лишены многих мирских радостей, гениальный художник или ученый представляется в обыденной жизни как комок несчастий и болезненных следствий своей деятельности. Все помнят, что Бетховен оглох, Бах ослеп, а Гегель вообще умер. Смертность среди великих, по статистике, достигает 100%. Однако только настоящему гению дана великая сила "стереть случайные черты" и увидеть истинную красоту мира. Именно поэтому его радости столь велики, что обыкновенному человеку трудно составить о них верное представление и понять, что гений, пусть больной, слепой, глухой, раздираемый нищетой и отвергаемый современниками, на самом деле – счастливийший из смертных и обретающий бессмертие.

Обрести бессмертие было суждено и Леонарду Эйлеру (1707–1783–...) – самому плодовитому математику восемнадцатого столетия, если только не всех времен. Опубликовано более двухсот томов его научных трудов, но это еще далеко не полное собрание сочинений. От такой напряженной работы Эйлер ослеп в 1735 году на один глаз, а в 1766 году – на второй, но слепота не смогла ослабить его огромную продуктивность. (Скажу вам по секрету, что на самом деле, конечно, Эйлер ослеп не от работы, а от катаракты, которую в то время не умели качественно лечить. Медицина с тех пор сделала огромный шаг вперед и Эийлеровскую катаракту или Бетховенскую глухоту в настоящее время можно было бы устранить за несколько часов в сороковой областной больнице на улице Волгоградской.)

Как ученый, Эйлер сформировался в швейцарском городе Базеле, университет которого долгое время был средоточием европейской науки того времени. Леонард изучал математику под руководством Иоганна Бернулли, а когда в 1725 году сын Иоганна Николай уехал в Петербург, молодой Эйлер последовал за ним в недавно учрежденную Российскую (Петербургскую) Академию Наук. Эйлер жил в России до 1741 года, потом смотался в Берлинскую академию под особое покровительство Фридриха Второго, а с 1766 года до самой своей физической смерти он снова в России, не смотря (увы, в буквальном смысле и в раздельном написании) на "две беды, которые погубят Россию – дураки и дороги". Мне кажется, что Эйлера с полным правом можно считать российским ученым, ибо основные годы его творчества прошли в Петербурге и он являлся академиком именно Петербургской Академии Наук под особым покровительством Екатерины Великой (Той самой, которая, согласно телевизионной рекламе банка Империал и народной легенде, для разговения Суворова Александра Васильевича, выдала ему звезду. Но я что-то не очень верю, что Суворов заработал свою первую звезду голодовкой.).

Слепой Эйлер, пользуясь своей феноменальной памятью, диктовал свои работы, общее число которых достигло 886. Его работы посвящены анализу, алгебре, дискретной математике (теории графов), вариационному исчислению, функциям комплексного переменного, астрономии, гидравлике, теоретической механике, кораблестроению, артиллерии, теории музыки и т.д., и т.п. Колоссальная продуктивность и "пробивная сила" Эйлера в разных областях математики и нематематики была и остается поводом для изумления. А какое изящество! Возьмите известную книжку Д. Пойа "Математика и правдоподобные рассуждения" и прочитайте там, как Эйлер находил сумму ряда:

и вы испытаете чисто эстетическое наслаждение. Обозначения Эйлера почти современны, точнее сказать, что наша математическая символика почти Эйлерова. Можно составить длиннющий список известных и важных математических открытий, приоритет в которых принадлежит Эйлеру. Можно составить огромный перечень его идей, которые еще ждут своей разработки. "Читайте Эйлера, – обычно говорил молодым математикам Лаплас, – читайте Эйлера, это наш общий учитель". Гаусс выразился еще более определенно: "Изучение работ Эйлера остается наилучшей школой в различных областях математики, и ничто другое не может это заменить".

Хочется добавить, что в мирской жизни Эйлер был рассудительным и спокойным человеком. Он был дважды женат и имел тринадцать детей. (Любил он это дело, и его плодовитость в этом вопросе тоже поражает.) О его чрезвычайной набожности ходят легенды. Говорят, что когда Петербургский двор посетил с визитом известный французский богохульник Вольтер, для ведения спора с ним был приглашен Эйлер, который залез на стул и гробовым голосом произнес в защиту Бога железный аргумент: "Синус квадрат плюс косинус квадрат равно единице, значит Бог существует!". Вольтер в шоке ретировался во Францию.

Но давайте и мы вернемся от анекдотов к математике.

Теорема (Эйлер). Пусть m>1 , (a,m)=1 , j ( m ) – функция Эйлера. Тогда:

a j ( m ) є 1(mod m) .

Доказательство. Пусть х пробегает приведенную систему вычетов по mod m :

x=r 1 ,r 2 ,...,r c

где c= j (m) их число, r 1 ,r 2 ,..., r c - наименьшие неотрицательные вычеты по mod m . Следовательно, наименьшие неотрицательные вычеты, соответствующие числам ax суть соответственно:

r 1 , r 2 ,..., r c

– тоже пробегают приведенную систему вычетов, но в другом порядке (см. Лемму 2 из пункта 17). Значит:

a Ч r 1 єr j 1 (mod m)
a Ч r 2 єr j 2 (mod m)
...
a Ч r c єr j c (mod m)

Перемножим эти с штук сравнений. Получится:

a c r 1 r 2 ...r c єr j 1 r j 2 ... r j c (mod m)

Так как r 1 r 2 ...r c = r 1 r 2 ... r c № 0 и взаимно просто с модулем m , то, поделив последнее сравнение на r 1 r 2 ...r c , получим a j ( m ) є 1(mod m) .

Ё

Вторая теорема этого пункта – теорема Ферма – является непосредственным следствием теоремы Эйлера (конечно, при схеме изложения материала, принятой в этой книжке).

Теорема (Ферма). Пусть р – простое число, р не делит a . Тогда:

a p-1 є 1(mod p) .

Доказательство 1. Положим в условии теоремы Эйлера m=p , тогда j (m)=p-1 (см. пункт 14 ) . Получаем a p-1 є 1(mod p) .

Ё

Необходимо отметить важность условия взаимной простоты модуля и числа a в формулировках теорем Эйлера и Ферма. Простой пример: сравнение 6 2 є 1(mod 3) очевидно не выполняется. Однако можно легко подправить формулировку теоремы Ферма, чтобы снять ограничение взаимной простоты.

Следствие 1. Без всяких ограничений на a О Z ,

a p є a(mod p) .

Доказательство. Умножим обе части сравнения a p-1 є 1(mod p) на a . Ясно, что получится сравнение, справедливое и при a , кратном р .

Ё

Конечно, доказательство 1 теоремы Ферма получилось столь коротким благодаря проведенной мощной предварительной подготовке ( доказана теорема Эйлера и изучены свойства функции j (m) ). Но многие читатели этой книжки очень скоро будут преподавать математику в средней школе, а некоторые, может быть, уже сейчас занимаются этой благородной деятельностью. Поэтому я не могу удержаться и приведу здесь еще один изящный вариант доказательства теоремы Ферма, доступный среднему школьнику или, по крайней мере, школьнику из школы с углубленным изучением математики.

Доказательство 2. Так как р - простое число, то все биномиальные коэффициенты:

(кроме C 0 p и C p p ) делятся на р , ибо числитель выписанного выражения содержит р , а знаменатель не содержит этого множителя. Если вспомнить бином Ньютона, то становится понятно, что разность (A+B) p -A p -B p =C p 1 A p-1 B 1 +C p 2 A p-2 B 2 +...+C p p-2 A 2 B p-2 +C p p-1 A 1 B p-1 , где А и В – какие угодно целые числа, всегда делится на р . Последовательным применением этого незатейливого наблюдения получаем, что (A+B+C) p -A p -B p -C p ={[(A+B)+C] p -(A+B) p -C p }+(A+B) p -A p -B p всегда делится на р ; (A+B+C+D) p -A p -B p -C p -D p всегда делится на р ; и вообще, (A+B+C+...+K) p -A p -B p -C p -...-K p всегда делится на р . Положим теперь в последнем выражении A=B=C=...=K=1 и возьмем количество этих чисел равным a . Получится, что a p -a делится на р , а это и есть теорема Ферма в более общей формулировке.

Ё

Следствие 2. (a+b) p є a p +b p (mod p) .

Ё

Приведу теперь почти без комментариев несколько обещанных примеров применения теорем Ферма и Эйлера. Отмечу сразу, что эффективность применения теорем Ферма и Эйлера отчасти основывается на том, что сравнения, даваемые этими теоремами, удобно возводить в степень, так как справа в них стоит единица, которая на возведение в степень не реагирует.

Пример 1. Девятая степень однозначного числа оканчивается на 7. Найти это число.

Решение. a 9 є 7(mod 10) – это дано. Кроме того, очевидно, что (7, 10)=1 и ( a , 10)=1. По теореме Эйлера, a j (10) є 1(mod 10). Следовательно, a 4 є 1(mod 10) и, после возведения в квадрат, a 8 є 1(mod 10). Поделим почленно a 9 є 7(mod 10) на a 8 є 1(mod 10) и получим a є 7(mod 10). Это означает, что a=7.

Пример 2. Доказать, что 1 18 +2 18 +3 18 +4 18 +5 18 +6 18 є -1(mod 7)

Доказательство. Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 взаимно просты с 7. По теореме Ферма имеем:

Возведем эти сравнения в куб и сложим:

1 18 +2 18 +3 18 +4 18 +5 18 +6 18 є 6(mod 7) є -1(mod 7)

Пример 3. Найти остаток от деления 7 402 на 101 .

Решение. Число 101 – простое, (7, 101)=1, следовательно, по теореме Ферма: 7 100 є 1(mod 101). Возведем это сравнение в четвертую степень: 7 400 є 1(mod 101), домножим его на очевидное сравнение 7 2 є 49(mod 101), получим: 7 402 є 49(mod 101). Значит, остаток от деления 7 402 на 101 равен 49.

Пример 4. Найти две последние цифры числа 243 402 .

Решение. Две последние цифры этого числа суть остаток от деления его на 100. Имеем: 243=200+43; 200+43 є 43(mod 100) и, возведя последнее очевидное сравнение в 402-ую степень, раскроем его левую часть по биному Ньютона (мысленно, конечно). В этом гигантском выражении все слагаемые, кроме последнего, содержат степень числа 200, т.е. делятся на 100, поэтому их можно выкинуть из сравнения, после чего понятно, почему 243 402 є 43 402 (mod 100). Далее, 43 и 100 взаимно просты, значит, по теореме Эйлера, 43 j (100) є 1(mod 100). Считаем:

j (100)= j (2 2 Ч 5 2 )=(10–5)(10–2)=40.

Имеем сравнение: 43 40 є 1(mod 100), которое немедленно возведем в десятую степень и умножим почленно на очевидное сравнение, проверенное на калькуляторе: 43 2 є 49(mod 100). Получим:

,

следовательно, две последние цифры числа 243 402 суть 4 и 9 .

Пример 5. Доказать, что (73 12 -1) делится на 105.

Решение. Имеем: 105=3 Ч 5 Ч 7, (73,3)=(73,5)=(73,7)=1. По теореме Ферма:

73 2 є 1(mod 3)
73 4 є 1(mod 5)
73 6 є 1(mod 7)

Перемножая, получаем:

73 12 є 1(mod 3),(mod 5),(mod 7),

откуда, по свойствам сравнений, изложенным в пункте 16, немедленно следует:

73 12 -1 є 0(mod 105),

ибо 105 - наименьшее общее кратное чисел 3, 5 и 7 . Именно это и требовалось.

Читатель, безусловно, понимает, что подобных примеров использования теорем Эйлера и Ферма можно придумать великое множество, да их и придумано великое множество для разнообразных школьных и студенческих математических олимпиад. Мы, естественно, не будем далее продолжать усердствовать, ибо, как сказал Козьма Прутков,– "усердствуя в малом, можешь оказаться неспособным к великому". Впереди нас ждут великие дела, поэтому на этом пункт 18 закончим.

Задачки

1 . Поройтесь в книжках, вспомните необходимые определения и докажите, что мультипликативная группа кольца вычетов Z n является циклической при любом натуральном n .

2 . Докажите, что:

а) 13 176 -1 делится на 89 ; б) 52 60 -1 делится на 385.

3 . Докажите, что 3 100 -3 60 -3 40 +1 делится на 77.

4 . Докажите, что:

а) 1 19 +2 19 +4 19 +5 19 +7 19 +8 19 є 0(mod 9);

б) 1 14 +3 14 +7 14 +9 14 є 0(mod 10).

5 . Найдите две последние цифры десятичной записи числа:

а) 19 321 ; б) 131 161 .

6 . Найдите остаток от деления:

а) числа 3 200 +7 200 на 101 ; б) числа 7 65 +11 65 на 80.

7 . Докажите, что существует такая степень числа 2, все последние 1000 цифр которой в десятичной записи будут единицами и двойками.

8 . Пусть a, a+d, a+2d, ... - произвольная бесконечная арифметическая прогрессия, первый член и разность которой являются натуральными числами. Докажите, что эта прогрессия содержит бесконечно много членов, каноническое разложение которых состоит из одних и тех же простых чисел (взятых, разумеется, в разных степенях).

9 . Выведите теорему Эйлера из теоремы Ферма.

NS НОВОСТИ НАУКИ

Засмотрелся на бедра равнобедренной трапеции математик Петров и остался ночевать в институте.

Студенты первого курса думают, что в одном килобайте 1000 байт, зато студенты пятого курса уже уверены, что в одном килограмме 1024 грамма.

Не удался новогодний обед у российских космонавтов на орбитальной станции "Мир". Как ни старались, не смогли они выдавить из тюбиков ни праздничный пирог, ни ананас, ни присланный дружественным Узбекистаном арбуз.

Брыльский завод бытовой электроники выпустил новый персональный компьютер с объемом памяти три кубометра.

Третий день сидит за дисплеем программист Иванов и не может запустить программу. Рекомендуем ему сесть перед дисплеем.

Велики заслуги перед Родиной у наших физиков-ядерщиков. Среди их творений - атомный ледокол "Ленин" и атомный прикол "Чернобыль".

С раннего утра у всех сотрудников института физики плазмы на лицах радостные улыбки и широкие глаза. Им наконец-то удалось запустить новый электромагнитный Дегенератор.

К новой философской системе пришел в результате многолетнего созерцания себя китайский философ Яй-Цы. Система состоит из двух равноправных составляющих и, на первый взгляд, довольно любопытна.

Объявление. Институту физики твердого тела требуется на работу массажист.

Вчера из Центра Управления Полетом с интересом наблюдали сеанс связи космонавтов.

Знаете ли Вы, что остался единственный институт в Москве, куда еще можно поступить без экзаменов - институт Склифосовского ?