§ 2. Цепные дроби

В этом параграфе мы отходим от изучения только целых чисел и действующими лицами станут произвольные действительные (как рациональные, так и иррациональные) числа. Сей параграф посвящен очень остроумному математическому аппарату - цепным (или непрерывным) дробям. Почему-то о них не рассказывают в школах, техникумах и университетах в обязательном порядке, а зря. Кроме того, что изучение цепных дробей занимательно само по себе, их применения выходят далеко за рамки теории чисел: они помогают исследовать числовые последовательности, анализировать алгоритмы, решать дифференциальные уравнения и т.д. Не претендуя на полноту изложения теории цепных дробей в этом параграфе и отдавая дань уважения славному ученому - математику А. Я. Хинчину, я сразу упомяну здесь его классическую книжку "Цепные дроби", в которой любопытный читатель найдет еще много интересных фактов, кроме тех, которые будут изложены ниже.

Пункт 7. Разложение чисел в цепные дроби.

Определение. Цепной (или, непрерывной) дробью называется выражение вида:

(Бедные наборщики в докомпьютерные времена буквально стрелялись, когда им приходилось набирать в книжках подобные многоэтажные выражения.) Договоримся называть числа q 1 , q 2 ,..., q n ,... - неполными частными и считаем, что q 1 О Z , а q 2 ,..., q n ,... О N . Числа

d 1 = q 1 , d 2 , = q 1 +


1
q 2


, d 3 = q 1 +


1
q 2 + 1
q 3
, и т. д.


называются подходящими дробями цепной дроби a .

Цепная дробь может быть как конечной (содержащей конечное число дробных линий и неполных частных), так и бесконечной вниз и вправо (на юго-восток). В первом случае она, очевидно, представляет некоторое рациональное число, во втором случае - пока непонятно что она вообще из себя представляет, но ясно, что все ее подходящие дроби - рациональные числа.

Договоримся называть значением (или величиной) бесконечной цепной дроби предел бесконечной последовательности ее подходящих дробей:

a = lim
n ®Ґ 		d n

(пока без всякого доказательства существования этого предела).

Наша глобальная цель на следующую пару пунктов - доказательство основной теоремы о цепных дробях:

Теорема. Всякое действительное число может быть разложено в цепную дробь единственным образом, и всякая конечная или бесконечная цепная дробь имеет своим значением некоторое действительное число.

После доказательства этой теоремы можно будет смело сказать, что цепные дроби - это еще одна форма записи действительных чисел. Однако доказательство этой теоремы растянется у нас надолго. В процессе доказательства удобно будет вводить и исследовать новые понятия, складывать их в вашу копилку знаний (в височную и гипофизарную области головного мозга), изучать их свойства. Именно поэтому я не буду сейчас писать с новой строки сакраментальное слово " доказательство " и собирать под его шапкой все дальнейшее. Обойдемся без этого слова, помня, что пока весь последующий рассказ как раз и нацелен на доказательство основной теоремы о цепных дробях.

Пусть a О R - действительное число, заключенное между двумя последовательными целыми числами: а Ј a < а +1. Число а будем называть нижним целым числа a (это просто целая часть a ), а число а +1 - верхним целым. Обозначениями для нижнего и верхнего целого числа a пусть будут, соответственно, л a ы и й a щ .

Возьмем произвольное действительное число a О R , q 1 = л a ы . Тогда a = q 1 + b 1 , 0 Ј b 1 < 1, следовательно

a 1 = 1
b 1 		> 1,  и   a = q 1 + 1
a 2 		 .

Если, далее, a 1 - не целое, то снова:

q 2 = л a 2 ы ,    a 2 = q 2 + b 2 = q 2 + 1
a 3 		,    a 3 >1,
и a = q 1 +


1
q 2 + 1
a 3
.

Продолжая этот процесс взятия нижних целых и переворачивания дробных частей, получим запись произвольного числа a О R в виде цепной дроби. Изложенный процесс есть просто "лобовой" способ разложения произвольного числа в цепную дробь или, если угодно, наводящие соображения к доказательству основной теоремы.

Пример 1. Разложим в цепную дробь число a = Ц 2.

Имеем q 1 = л Ц 2 ы = 1, b 1 = Ц 2 - 1, т.е. a = 1 + ( Ц 2 - 1). Далее,

a 2 = 1
b 1 		= 1
Ц 2 -1 		= Ц 2 + 1
1 		= Ц 2 + 1,

q 2 = л Ц 2 + 1 ы = 2,    b 2 = Ц 2 - 1,

a = 1 + 1
2 +( Ц 2 -1) 		.

Так как b 1 = b 2 , то нетрудно понять, что этот процесс зациклится и, если его не останавливать, то получится бесконечная цепная дробь:

Все неполные частные в ней, начиная со второго, равны двойке.

Очевидно, что если a О R - иррационально, то описанный выше процесс бесконечен, так как иначе, в случае остановки этого процесса, a оказалось бы равным конечной цепной дроби, т.е. рациональному числу. Значит, всякое иррациональное число если и можно, то можно представить только бесконечной цепной дробью. Забудем пока про иррациональные числа и окунемся в приятный мир рациональных.

Пусть a О Q , a = a / b ; a , b О Z , b > 0. Оказывается, что при этих условиях, указанный выше процесс разложения числа в цепную дробь всегда конечен и выполним с помощью достопочтенного и любимого нами алгоритма Евклида. Действительно, отдадим алгоритму числа a и b , и внимательно посмотрим, что получится.

a = bq 1 + r 1      т.е.  a
b 		= q 1 + 1
b / r 1
b = r 1 q 2 + r 2      т.е.  b
r 1 		= q 2 + 1
r 1 / r 2
r 1 = r 2 q 3 + r 3      т.е.  r 1
r 2 		= q 3 + 1
r 2 / r 3
. . . . . . .
r n -2 = r n -1 q n + r n      т.е.  r n -2
r n -1 		= q n + 1
r n -1 / r n
r n -1 = r n q n +1      т.е.  r n -1
r n 		= q n +1 .

Значит:

где q 1 , q 2 ,..., q n +1 - как раз те самые неполные частные из алгоритма Евклида (вот откуда название этих чисел в цепных дробях). Таким образом, в случае рационального числа a / b , процесс разложения в цепную дробь конечен и дробь содержит не более b этажей. Наиболее одаренные читатели в этом месте уже поняли, что основная теорема о цепных дробях для рациональных чисел оказалась почти доказана (не доказали только единственность разложения, но она в случае конечных цепных дробей почти очевидна - приравняйте две цепных дроби и, рассуждая по индукции, получите, что у равных дробей совпадают все неполные частные).

Согласитесь, что горизонтальные дробные линии в начертании цепной дроби сильно напоминают рисунок 3 из пункта 4 - отрезки, которые рисовали древние греки на песке, да и связь алгоритма Евклида с цепными дробями непосредственная и, можно сказать, даже трогательно-интимная.

Пример 2. Этот пример заимствован мною из книги И. М. Виноградова "Основы теории чисел", ведь придумать самому такое дикое рациональное число практически невозможно. Итак: разложить 105/38 в цепную дробь.

Включаем алгоритм Евклида:

105 = 38 · 2 + 29
38 = 29 · 1 + 9
29 = 9 · 3 + 2
9 = 2 · 4 + 1
2 = 1 · 2

Неполные частные я специально подчеркнул потому, что теперь для написания ответа нужно аккуратно расположить их подряд на этажах цепной дроби перед знаками плюс:

Вот и все. Потренируйтесь еще, пожалуйста, самостоятельно раскладывать числа в цепную дробь, прорешивая задачки к этому пункту, а я на этом пункт 7 заканчиваю.

Задачки

1 . Разложите в цепную дробь число a , если:

а) a = 5391/3976;

б) a = 10946/6765; *

в) a = 3;

г) a = 1+3/2;

д) a = log 2 3 (ограничьтесь нахождением пяти первых неполных частных).

2 . Вычислите для каждой цепной дроби из предыдущей задачи первые пять штук подходящих дробей d 1 , d 2 , d 3 , d 4 , d 5 . Нарисуйте каждый раз на числовой оси число a и его подходящие дроби. Результаты наблюдений бережно сохраните в коре головного мозга.

* Это отношение двадцать первого числа Фибоначчи к двадцатому.

NS СЕНТЕНЦИИ

Больной нуждается в уходе врача. И чем дальше уйдет врач, тем лучше...

- Сестpа! Какая темпеpатуpа у больного?

- Ноpмальная. Комнатная.

Филиппины!... Сколько их?