Пределы функций
Для
определения пределов последовательностей и функций используются некоторые
известные приемы:
1. Если необходимо найти предел
,
можно
предварительно привести к общему знаменателю
.
Поделив на член, имеющий максимальную степень, получим в
числителе постоянную величину, а в знаменателе – все члены, стремящиеся к 0,то
есть
.
2. Аналогично, для примера
3. в этом пределе, если подставить x=a, то
получится неопределенность, которую можно преодолеть, если разложить разность
кубов в знаменателе , а числитель в виде: .
Тогда
и подставив x=a,
получим: ;
4. ,
при подстановке х=0, получим .
5. Однако,
если необходимо найти предел рациональной функции
, то при делении на член с минимальной степенью, получим
; и, устремив х к 0, получим:
Если в пределах содержатся иррациональные выражения, то
приходится вводить новые переменные для получения рационального выражения, или
же переводить иррациональности из знаменателя в числитель и наоборот.
6. ; Сделаем замену
переменной. Заменим , при , получим .
7. . Если числитель и знаменатель умножить на одно и то же
число, то предел не изменится. Умножим числитель на и разделим на это же
выражение, чтобы предел не изменился, а знаменатель умножим на и разделим, на это же
выражение. Тогда получим:
Для определения пределов часто используются
замечательные пределы:
; (1)
. (2)
8. .
Для вычисления такого предела сведем его к 1-му
замечательному пределу (1). Для этого умножим и разделим числитель на , а знаменатель на , тогда .
9. Для вычисления этого
предела сведем его ко второму замечательному пределу. С этой целью из
рационального выражения в скобках выделим целую часть и представим ее в виде
правильной дроби. Так поступают в тех случаях, когда , где , а , где ;
, а , то окончательно . Здесь использовалась непрерывность композиции непрерывных
функций.
Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя
Все
вышеперечисленные пределы не использовали аппарат дифференциального исчисления.
Однако, если необходимо найти
и при обе эти функции
бесконечно малые или обе бесконечно большие, то их отношение не определено в
точке и, следовательно,
представляет собой неопределенность типа или соответственно.
Поскольку это отношение в точке может иметь предел,
конечный или бесконечный, то нахождение этого предела называется раскрытием
неопределенности (правило Лопиталя Бернули),
и
имеет место следующее равенство:
, если и .
1. (здесь имеет место неопределенность типа )=
=.
Аналогичное правило имеет место, если и , т.е. .
2. (неопределенность типа )
=
=.
Правило
Лопиталя позволяет также раскрывать неопределенности типа и . Для вычисления , где - бесконечно малая, а - бесконечно большая при (раскрытие неопределенности типа ) следует преобразовать произведение к виду
(неопределенность типа
) или к виду (неопределенность типа ) и далее использовать правило Лапиталя.
3.
Для
вычисления , где и - бесконечно большие при (раскрытие
неопределенности типа ) следует преобразовать разность к виду , затем раскрыть неопределенность типа . Если , то .
Если же , то получается неопределенность типа (), которая раскрывается аналогично примеру 12).
4. .
Так
как , то получим в итоге неопределенность типа и далее имеем
.
Правилом Лопиталя можно
пользоваться также для раскрытия неопределенностей типа . В этих случаях имеется в виду вычисление предела выражения , где в случае есть бесконечно малая, в случае - бесконечно большая, а в случае - функция, предел которой равен единице.
Функция в первых двух случаях является бесконечно малой, а в
последнем случае – бесконечно большой функцией.
Прежде
чем искать предел таких выражений, их логарифмируют, т.е. если , то , затем находят предел , и после чего находят предел . Во всех перечисленных случаях является
неопределенностью типа , которую раскрывают аналогично примеру 12).
5.
(воспользуемся правилом Лопиталя)=
=.
В этом
произведении пределов первый равен 1, второй сомножитель представляет собой
первый замечательный предел и он тоже равен 1, а последний сомножитель
стремится к 0, следовательно:
и тогда .
6.
=;
.
7. ;
=;
.
8. ;
=;
.
|