4. Неопределенный интеграл
4.1 Определение и свойства
неопределенного интеграла
Определение.
Функция называется первообразной функции , если .
Теорема.
Если и две
первообразные одной и той же функции , то они
отличаются не более, чем на константу, то есть .
Следствие.
Если - одна из
первообразных функции , то любая другая первообразная имеет вид .
Определение.
Совокупность всех первообразных функции называется неопределенным интегралом от и обозначается .
называется подынтегральной функцией, а - подынтегральным выражением.
Таким образом, окончательно
.
Свойства
неопределенного интеграла.
1. ;
2. ;
3. ;
4. .
4.2 Таблица
неопределенных интегралов
;
;
;
;
;
;
;
|
;
;
;
;
;
.
|
Эту таблицу надо
помнить так же хорошо, как таблицу производных.
4.3 Основные приемы интегрирования
Для вычисления неопределенных интегралов нет такого четкого алгоритма,
как для вычисления производных. Кроме того, следует иметь в виду, что
бесконечно много интегралов от элементарных функций не выражаются через эти
элементарные функции, а представляют собой так называемые специальные функции.
Поэтому, вычисление неопределенных интегралов скорее искусство, чем работа по
алгоритму. Однако два общих приема все-таки имеются.
Замена переменных.
Пусть надо вычислить . Сделаем замену
переменных , так что . Пусть нам каким-то образом удалось вычислить . Тогда имеет место формула
.
Интегрирование
по частям.
Пусть и - две функции.
Тогда имеет место формула
.
4.4 Полиномы и дробно-рациональная функция
Выражение
называется полиномом или многочленом степени n от
переменной х. Число b (вещественное или комплексное)
называется корнем полинома , если .
Всякий полином может быть представлен в
виде
,
где сомножитель
вида соответствует
вещественному корню b кратности k, а сомножитель вида - паре
комплексно-сопряженных корней кратности l. Отметим, что .
Функция вида , где и - полиномы
соответствующих степеней, называется дробно-рациональной
функцией или дробью. Если m < n, то дробно-рациональная функция называется правильной.
Теорема
1. Пусть есть правильная
рациональная дробь и b есть вещественный корень P(x) кратности
k, то есть . Тогда
,
где , , а - полином такой
степени, что второе слагаемое есть правильная рациональная дробь.
Теорема
2. Пусть есть правильная
рациональная дробь и b есть комплексный корень P(x) кратности
l,
то есть . Тогда
,
где , а - полином такой
степени, что второе слагаемое есть правильная рациональная дробь.
4.5 Интегрирование дробно-рациональных функций
Пусть есть правильная рациональная дробь, у которой . Тогда, согласно предыдущим теоремам, ее можно
представить в виде
,
которое
называется разложением правильной рациональной дроби на простейшие.
Для нахождения коэффициентов разложения
стандартным является следующий алгоритм:
1. Написать разложение рациональной дроби на простейшие с неопределенными
коэффициентами.
2. Привести правую часть получившегося выражения к общему знаменателю,
раскрыть скобки и собрать члены с одинаковыми степенями х.
3. Приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х в знаменателях получившейся и исходной
дроби.
4. Решить получившуюся систему линейных алгебраических уравнений и
найти все неопределенные коэффициенты.
В результате интеграл распадется на
сумму интегралов следующих типов:
, , , и , .
Все они
вычисляются в явном виде. Имеем
, .
Запоминать явные
выражения для интегралов двух последних типов не надо.
|