Allmath.ru

Вся математика в одном месте!

 

 

 

 



Rambler's Top100


Математический анализ - лекции (СОДЕРЖАНИЕ)

 4. Неопределенный интеграл

4.1 Определение и свойства неопределенного интеграла

         Определение. Функция  называется первообразной функции , если .

         Теорема. Если  и  две первообразные одной и той же функции , то  они отличаются не более, чем на константу, то есть .

         Следствие. Если  - одна из первообразных функции , то любая другая первообразная имеет вид .

         Определение. Совокупность всех первообразных функции  называется неопределенным интегралом от  и обозначается .

          называется подынтегральной функцией, а  - подынтегральным выражением.

         Таким образом, окончательно

.

         Свойства неопределенного интеграла.

         1. ;

         2. ;

         3. ;

         4. .

         4.2 Таблица неопределенных интегралов

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

Эту таблицу надо помнить так же хорошо, как таблицу производных.

4.3    Основные приемы интегрирования

Для вычисления неопределенных интегралов нет такого четкого алгоритма, как для вычисления производных. Кроме того, следует иметь в виду, что бесконечно много интегралов от элементарных функций не выражаются через эти элементарные функции, а представляют собой так называемые специальные функции. Поэтому, вычисление неопределенных интегралов скорее искусство, чем работа по алгоритму. Однако два общих приема все-таки имеются.

Замена переменных.

Пусть надо вычислить . Сделаем замену переменных , так что . Пусть нам каким-то образом удалось вычислить . Тогда имеет место формула

.

         Интегрирование по частям.

         Пусть  и  - две функции. Тогда имеет место формула

.

4.4   Полиномы и дробно-рациональная функция

Выражение

называется полиномом или многочленом степени n от переменной х. Число b (вещественное или комплексное) называется корнем полинома , если .

         Всякий полином может быть представлен в виде

,

где сомножитель вида  соответствует вещественному корню b кратности k, а сомножитель вида  - паре комплексно-сопряженных корней кратности l. Отметим, что .

         Функция вида , где  и  - полиномы соответствующих степеней, называется дробно-рациональной функцией или дробью. Если m < n, то дробно-рациональная функция называется правильной.

         Теорема 1.  Пусть  есть правильная рациональная дробь и b есть вещественный корень P(x) кратности k, то есть . Тогда

,

где , , а  - полином такой степени, что второе слагаемое есть правильная рациональная дробь.

         Теорема 2.  Пусть  есть правильная рациональная дробь и b есть комплексный корень P(x) кратности l, то есть . Тогда

,

где , а  - полином такой степени, что второе слагаемое есть правильная рациональная дробь.

4.5   Интегрирование дробно-рациональных функций

Пусть есть правильная рациональная дробь, у которой . Тогда, согласно предыдущим теоремам, ее можно представить в виде

,

которое называется разложением правильной рациональной дроби на простейшие.

         Для нахождения коэффициентов разложения стандартным является следующий алгоритм:

1. Написать разложение рациональной дроби на простейшие с неопределенными коэффициентами.

2. Привести правую часть получившегося выражения к общему знаменателю, раскрыть скобки и собрать члены с одинаковыми степенями х.

3. Приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х в знаменателях получившейся и исходной дроби.

4. Решить получившуюся систему линейных алгебраических уравнений и найти все неопределенные коэффициенты.

В результате интеграл  распадется на сумму интегралов следующих типов:

,   ,  ,     и , .

Все они вычисляются в явном виде. Имеем

,    .

Запоминать явные выражения для интегралов двух последних типов не надо.


Хотите публиковаться на портале? Присылайте свои предложения, книги, статьи на info@allmath.ru.

[Школьная математика][Высшая математика][Прикладная математика][Олимпиадная математика][Услуги][Лучшие книги][Ссылки]

 

Copyright (c) 2004, Allmath.ru. e-mail: info@allmath.ru