6. Несобственные
интегралы
6.1 Определение и
свойства несобственных интегралов первого рода
Пусть
.
Функция  определена на  ;
2.
 интегрируема на
 .
Предел вида
называется несобственным интегралом первого рода.
Если этот предел существует и конечен, то говорят, что  сходится или существует. Если это предел не существует
или бесконечен, то говорят, что расходится или не существует.
Аналогично,
 ,
 .
Предел вида  называется главным значением несобственного
интеграла  и обозначается
так .
Свойства.
1. Если существует , то  существует  . При этом
 .
2. Если существует , то  .
3. Если существует , то существует  .
4. Если существуют и  , то существует
 .
6.2 Несобственные
интегралы первого рода от неотрицательных функций
В этом разделе всюду предполагается,
что  и  .
Теорема
1. Если  , то
1. если  , то  ;
2. если  , то  .
Теорема
2. Если существует
 ,
то интегралы и сходятся или расходятся
одновременно.
Практический
признак сходимости.
Пусть
при  существует  . Тогда
если  , то сходится;
если  , то расходится.
6.3 Несобственные
интегралы первого рода от функций произвольного знака
В
данном разделе функции и  могут иметь
произвольный знак.
Теорема.
Если существует  , то существует и .
Определение.
Если существует , то интеграл называется абсолютно сходящимся.
Если существует , но  , то интеграл называется неабсолютно сходящимся.
Признак
Дирихле. Пусть
1. интегрируема в
любом  , причем 
 ;
2. При  .
Тогда  сходится.
Следствие.
Если при , то существуют  и  (последний – при
 ).
6.4 Несобственные
интегралы второго рода
Определение.
Точка с называется особой точкой функции f(x), если  или этот предел
не существует. Ниже рассматривается лишь первый случай.
Пусть b есть
особая точка функции f(x) и для
любого  эта функция
интегрируема на отрезке  . Тогда предел
называется несобственным интегралом второго рода. Если
этот предел существует и конечен, то говорят, что интеграл сходится или
существует, если же этот предел равен бесконечности, то интеграл расходится,
или не существует.
Аналогично, если особой точкой является
а, то несобственный интеграл второго
рода определяется так
 .
Наконец, если особая точка c удовлетворяет условию a<c<b, то интеграл определяется так
 .
Заметьте, что  и  разные. Если взять их одинаковыми, то
получающийся предел
называется главным значением несобственного
интеграла второго рода.
6.5 Признаки
существования несобственных интегралов второго рода от неотрицательных функций
В этом разделе всюду предполагается,
что и .
Теорема
1. Если , то
1. если  , то ;
2. если  , то  .
Теорема
2. Пусть b есть
особая точка функции f(x). Если
при x®b существует предел
 ,
то интегралы  и  сходятся или
расходятся одновременно.
Практический
признак сходимости.
Пусть b есть особая точка функции f(x). Если при x®b существует предел
 ,
то при  интеграл сходится;
при  интеграл расходится.
Если особой точкой является точка а, то предел принимает вид
 .
|
