ВВЕДЕНИЕ..............................................................................................................1
1. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ.....................................5
1.1. Эллиптические уравнения.......................................................................6
1.1.1. Уравнение Лапласа................................................................................6
1.1.2. Уравнение Пуассона..............................................................................9
1.2. Параболические уравнения.................................................................11
1.2.1. Уравнение теплопроводности...........................................................12
1.2.1. Уравнения непрерывности.................................................................13
1.3. Гиперболические уравнения............................................................15
1.3.1. Волновое уравнение.............................................................................15
1.4. Системы дифференциальных уравнений в частных
производных....16
1.4.1. Фундаментальная система уравнений.............................................17
1.4.2. Нормировка..........................................................................................18
1.4.3. Базисы переменных.............................................................................20
2. ГРАНИЧНЫЕ И НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ..........................................22
2.1. Граничные условия....................................................................................23
2.2. Начальные условия....................................................................................25
3. МЕТОДЫ ДИСКРЕТИЗАЦИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В
ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ............................................25
3.1. Метод конечных разностей...................................................................26
3.1.1. Конечно-разностные сетки...............................................................26
3.1.2. Сеточные функции, конечные разности и
шаблоны.......................27
3.2. Метод конечных элементов..............................................................31
3.2.1. Разбиение Дирихле и триангуляция
Делоне......................................31
3.2.2. Метод интегральных тождеств......................................................37
4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.....39
4.1. Методы решения систем линейных алгебраических
уравнений..........39
4.1.1. Метод исключения Гаусса.................................................................40
4.1.2. Метод LU-разложения.......................................................................42
4.1.3. Итерационные методы решения систем
линейных алгебраических уравнений
4.2. Методы решения систем нелинейных алгебраических
уравнений......55
4.2.1. Итерация неподвижной точки.........................................................56
4.2.2. Метод Ньютона-Рафсона.................................................................61
5. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ В
СИСТЕМЕ MATLAB........................................................................................66
5.1. Примеры решения уравнения Пуассона..................................................66
5.1.1. Решение одномерного уравнения Пуассона
методом конечных разностей
5.1.2. Решение двухмерного уравнения Пуассона
методом конечных разностей
5.1.3. Решение двухмерного уравнения Пуассона
методом конечных элементов