Решение задач оптимизации в Excel (СОДЕРЖАНИЕ)

7. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 “ДВУХИНДЕКСНЫЕ ЗАДАЧИ ЛП. ОПТИМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ МОЩНОСТЕЙ”

7.1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Приобретение навыков решения двухиндексной общей распределительной задачи ЛП и ее применения к оптимальному распределению производственных мощностей.

7.2. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Постройте распределительную таблицу для варианта производства без специализации и преобразуйте ее в транспортную таблицу.

Решите в Excel полученную транспортную задачу и преобразуйте полученное решение в решение распределительной задачи.

Проанализируйте результаты организации производства без специализации и примите решение о том, какой корпус будет специализироваться на выпуске какого вида продукции.

7.3. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Общая распределительная задача ЛП – это распределительная задача, в которой работы и ресурсы (исполнители) выражаются в различных единицах измерения. Например, организация выпуска разнородной продукции на оборудовании различных типов; организация выполнения набора заданий работниками различной квалификации; организация перевозки нескольких видов товаров на транспорте различных видов и т.д. (двухиндексные задачи).

Исходные параметры модели двухиндексной общей РЗ

1. n – количество исполнителей (станков, работников, транспортных средств и т.д.), m – количество видов работ (выпускаемой продукции, выполняемых заданий, перевозимых товаров и т.д.).

2.  – запас рабочего ресурса исполнителя  () (фонд времени работы оборудования или работника; количество транспортных средств и т.д.), пример единиц измерения [ед. t].

3.  – план по выполнению работы  ()(объем выпуска продукции; объем выполнения заданий; потребность в перевозимом товаре и т.д.), пример единиц измерения [ед. тов].

4.  – тариф (стоимость) выполнения работы  исполнителем  (себестоимость единицы выпуска продукции; затраты на выполнение одного задания; тарифы перевозки единицы товара), пример единиц измерения [руб./ед. тов.].

5.  – интенсивность выполнения работы  исполнителем  (производительность выпуска продукции, выполнения заданий; вместимость транспортного средства и т.д.), пример единиц измерения [ед. тов./ед. t].

Искомые параметры модели РЗ

1.  – загруженность исполнителя  при выполнении работы  (время, затрачиваемое на выпуск продукции или на выполнение заданий; количество транспортных средств определенного вида, задействованных в перевозке), пример единиц измерения [ед. t].

2.  – количество работ , которые должен будет произвести исполнитель  (объем выпущенной продукции, выполненных заданий, перевезенных товаров и т.д.), пример единиц измерения [ед. тов.].

3.  – общие расходы на выполнение всего запланированного объема работ, пример единиц измерения [руб.].

Этапы построения модели

I. Определение переменных.

II. Построение распределительной матрицы (табл.7.1).

III.Задание ЦФ.

IV. Задание ограничений.

Таблица 7.1

Общий вид распределительной матрицы

Модель двухиндексной общей РЗ

Таким образом, формально модель общей РЗ отличается от модели ТЗ использованием параметра интенсивности выполняемых работ  в ЦФ и для задания ограничений по выполняемым работам (столбцам).

Этапы решения РЗ

I. Преобразование РЗ в ТЗ:

1) выбор базового ресурса и расчет нормированных производительностей ресурсов ;

2) пересчет запаса рабочего ресурса исполнителей ;

3) пересчет планового задания ;

4) пересчет себестоимостей работ;

II. Проверка баланса пересчитанных параметров  и построение транспортной матрицы.

III. Поиск оптимального решения ТЗ .

IV. Преобразование оптимального решения ТЗ  в оптимальное решение РЗ , причем переход  выполняется по формуле (7.6):

где  и  – соответственно элементы решения РЗ и ТЗ.

V. Определение количества работ , соответствующее оптимальному решению РЗ :

VI. Определение ЦФ распределительной задачи  (см. подразд.7.1).

7.4. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ МОЩНОСТЕЙ

На АО “Светлана” подготовлены к серийному производству 5 новых изделий , , , , , оптовые цены  которых равны соответственно (46, 27, 40, 35, 23) [руб./шт.]. Производство может быть развёрнуто в четырёх сборочных корпусах , , , . Затраты в рублях на изготовление j-го изделия в i-м корпусе задаются матрицей . Предлагается специализировать один (несколько) сборочный корпус, для чего потребуется его дополнительное переоборудование. Затраты на переоборудование в тыс.руб. задаются матрицей .

(руб./шт.); (тыс.руб.).

При выпуске изделий со специализацией затраты  упадут на 15–20% в каждом корпусе. Фонды времени  работы корпусов в плановом периоде равны соответственно 550, 870, 620, 790 часов, план выпуска продукции  в штуках составляет соответственно 6400, 8700, 16 400, 4800, 4600, а трудоёмкость в минутах изготовления одной единицы продукции в соответствующем корпусе задается матрицей .

(мин/шт.).

Рассмотрите два варианта работы предприятия: без специализации и со специализацией. Выберите наилучший вариант и обоснуйте свой выбор.

7.5. ПОСТРОЕНИЕ И РЕШЕНИЕ РЗ ЛП

Построение распределительной модели

Пусть  – количество времени (ч), которое корпус  будет тратить на выпуск изделия  в течение планового периода.

Производство без специализации

Рассмотрим производство без специализации корпусов. Распределительная матрица такой задачи приведена в табл.7.2.

Таблица 7.2

Распределительная матрица задачи без специализации

При ее построении необходимо учитывать, что параметр интенсивности выполнения работ  в данном случае – это производительность корпуса  по выпуску изделия . Но в исходных данных вместо  дано количество минут, затрачиваемых в корпусе  на производство одного изделия , то есть трудоемкость . Производительность и трудоемкость по своему смыслу – обратные величины, то есть

Например, на производство изделия  в корпусе  требуется 0,5 минуты, поэтому в течение часа (60 мин) будет произведено120 изделий:

Примечание 7.1. При решении РЗ в Excel можно обойтись без округлений промежуточных значений всех параметров задачи. Для этого расчет этих значений необходимо производить прямо в соответствующих ячейках. Например, в ячейку для  вместо округленного числа 8,333 надо ввести выражение . Результаты решения рассматриваемой задачи (, , , ) получены в Excel без округления промежуточных вычислений.

На основании распределительной табл.7.2 строим модель РЗ – ЦФ (приведены округленные значения) и ограничения:

Преобразуем РЗ в ТЗ. В качестве базового корпуса можно выбрать любой, но мы предпочтем корпус с максимальной производительностью, то есть корпус . По формуле (7.2) определим производительности корпусов , нормированные относительно производительности базового станка:

;

;

; .

Пересчитаем фонды времени корпусов по формуле (7.3):

 [ч];  [ч];  [ч];

 [ч].

Пересчитаем плановое задание по формуле (7.4):

 [ч]; [ч];  [ч];

 [ч];  [ч]

.

Пересчет себестоимостей производим по формуле (7.5), например:

 [руб./ч];  [руб./ч];

 [руб./ч];  [руб./ч]

.

Все пересчитанные параметры РЗ сведены в транспортную матрицу задачи без специализации (табл.7.3). Перед записью этой матрицы надо проверить сбалансированность полученной ТЗ, то есть условие

.

В данной задаче условие баланса не выполняется, так как 1914,167>1719,167, то есть

.

Это означает, что фонды времени корпусов позволяют произвести больше продукции, чем это предусмотрено плановым заданием. Для получения баланса добавим в транспортную таблицу фиктивный столбец  с плановым заданием

 [ч]

и фиктивными тарифами  [руб./ч], превосходящими по своему значению все реальные тарифы  полученной ТЗ.

Таблица 7.3

Транспортная матрица задачи без специализации

Примечание 7.2. При решении ТЗ в Excel, возможно, придется увеличить относительную погрешность решения в параметрах окна "Поиск решения".

Оптимальное решение ТЗ  [ч] из табл.7.3 без фиктивного столбца (все значения округлены до трех знаков после запятой) имеет следующий вид:

Оптимальное решение РЗ  [ч] получаем из оптимального решения ТЗ  [ч] по формуле (7.6), например:

 [ч];  [ч];  [ч];

Значения  – это время, в течение которого корпус  будет выпускать изделия . Чтобы узнать, какое количество продукции будут выпускать корпуса, то есть  [шт.], воспользуемся формулой (7.7), например:

 [шт.];  [шт.].

В данном расчете округления (до меньшего целого) обязательны, поскольку выпускаемая продукция штучная:

Определим затраты на производство продукции без специализации:

 [руб].

При расчете затрат на производство значения в фиктивном столбце (строке) не учитываются. Затраты, рассчитанные по формуле (7.1) и формуле (7.10), в принципе, одинаковы, но в данной задаче будут несколько различаться. Это связано с тем, что в (7.10) мы использовали уже округленные до меньшего целого значения .

Производство со специализацией

Чтобы принять решение о том, какой корпус будем специализировать и на выпуске какой продукции, необходимо проанализировать распределение выпуска продукции по корпусам, то есть . В рассматриваемой задаче первый корпус занят в основном выпуском продукции  (16 400 шт. изделия  и 66 шт. изделия ). Число 16 400 шт. изделий  – это наибольшее количество продукции одного и того же вида, производимое одним и тем же корпусом. Поэтому примем решение о специализации первого корпуса на выпуске изделий .

Таким образом, возникает задача оптимального распределения продукции по неспециализированным корпусам ,  и. При этом необходимо выяснить, сможет ли специализируемый корпус  за свой фонд времени произвести плановое задание по выбранному виду продукции . В данном случае по  видно, что корпус успевает произвести плановые 16 400 шт. изделия . Таким образом, в новой задаче будем распределять продукцию , , ,  по корпусам ,  и .

Примечание 7.3. В общем случае для ответа на вопрос, успеет ли специализируемый корпус выполнить план по конкретной продукции, необходимо использовать данные о фонде времени и производительности корпуса.

Примечание 7.4. Если бы корпус  не успевал за свой фонд времени выпустить планируемое количество изделий , то в новой задаче надо было бы распределять между корпусами также и ту часть , которую не успел выпустить .

Распределительная матрица задачи без специализации, в которой учтено уменьшение затрат на производство на 15%, представлена в таблице 7.4.

Таблица 7.4

Распределительная матрица задачи со специализацией

Таблица 7.5

Транспортная матрица задачи со специализацией