ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
1. Вводные понятия. Пусть дано
множество  , и пусть указано правило, по которому каждой точке  соответствует
некоторое число  . В этом случае говорят, что задана функция  с областью определения
 и областью значений  . При этом  и  называют независимыми переменными (аргументами),
а  – зависимой переменной (функцией).
Функцию часто записывают в
виде « ». Схематично функция может быть изображена так, как это
показано на рис. 1.
Рис.1.
 Пример.
На множестве  определим функцию  ; тогда ее областью значений является отрезок  . Эту функцию можно определить, конечно, и на всей плоскости  ; в этом случае имеем  и  .
Графиком функции называют множество
точек  ; обычно графиком является некоторая поверхность (рис. 2).
При построении графика
функции часто пользуются методом сечений.
Пример. Построить график функции  и найти . Рис.2.
  Воспользуемся методом
сечений.
 – в плоскости  – парабола.
 – в плоскости  –парабола.
 – в плоскости  – окружность.
Искомая поверхность – параболоид вращения (рис. 3).
^ Рис.3.
Расстоянием между двумя произвольными
точками  и  (евклидова) пространства
называется число
 .
Множество точек  называется открытым кругом радиуса  с центром в точке  ,  – окружностью радиуса с центром в точке .
Открытый
круг радиуса  с центром в точке называется  -окрестностью точки .
 Определение.
Точка называется внутренней точкой множества  , если существует -окрестность  точки , целиком принадлежащая множеству (т.е.  ) (рис. 4).
Определение.
Точка называется граничной точкой множества , если в любой ее -окрестности содержатся точки, как принадлежащие множеству , так и не принадлежащие ему (рис. 5). Рис.4.
 Граничная
точка множества может как принадлежать этому множеству, так и не принадлежать
ему.
Определение.
Множество называется откры-тым, если все его точки –
внутренние.
Определение.
Множество называется замк-нутым, если оно содержит все свои
граничные точки. Множество всех граничных точек множества называется его границей (и часто обозначается символом  ). Заметим, что множество  является замкнутым и
называется замыканием множества .
Рис.5.
Пример.
Если  , то  . При этом  . Покажите это!
Определение.
Точка называется предельной точкой множества , если в любой -окрестности точки содержатся точки
множества , отличные от .
Образно
говоря, точка называется предельной
точкой множества , если «к точке можно подойти сколь
угодно близко, идя по точкам множества и не наступая на саму
точку ». Предельная точка множества может принадлежать, а может не
принадлежать этому множеству.
Пример.
Множество  совпадает с множеством
своих предельных точек. Множество  имеет единственную
предельную точку  . Покажите это!
2. Предел функции.
Определение.
Будем говорить, что последовательность точек  сходится при  к точке  , если  при .
В этом
случае точку  называют пределом указанной последовательности и
пишут:  при .
Легко
показать, что тогда и только тогда,
когда одновременно  ,  (т.е. сходимость
последовательности точек пространства эквивалентна покоординатной сходимости).
Пусть  и  – предельная точка
множества .
Определение.
Число называют пределом функции при  , если для   такое, что  , как только  . В этом случае пишут
 или  при .
При
кажущейся полной аналогии понятий предела функций одной и двух переменных
существует глубокое различие между ними. В случае функции одной переменной для
существования предела в точке необходимо и достаточно равенство лишь двух чисел
– пределов по двум направлениям: справа и слева от предельной точки  . Для функции двух переменных стремление к предельной точке на плоскости может происходить по
бесконечному числу направлений (и необязательно по прямой), и потому требование
существования предела у функции двух (или нескольких) переменных «жестче» по
сравнению с функцией одной переменной.
Пример.
Найти  .
Пусть стремление к
предельной точке  происходит по прямой  . Тогда
 .
Предел, очевидно, не существует, так как число  зависит от  . ^
Пример.
Найти  .
По любой прямой предел один и тот же:
 .
С другой стороны, пусть стремление к предельной
точке происходит по кривой  . Тогда
 ;
следовательно, предел не существует. ^
Сформулируем
понятие предела функции для случая, когда предельная точка имеет бесконечные
координаты. Ограничимся случаем, когда  ,  (остальное – по
аналогии).
Определение.
Число называют пределом функции при и , если для  такое, что из
неравенств  и  следует неравенство . Этот факт коротко записывают так:
 .
Теорема
1. Если существуют и  , то:
 ;
 ;
 ,
где предельная
точка может быть конечной
или бесконечной.
Справедливы
аналоги и других теорем о свойствах пределов функций одной переменной.
3. Непрерывность функции. Пусть дана
функция  с областью определения
и пусть – предельная точка
множества .
Определение.
Говорят, что функция  непрерывна в точке , если:
1)  ;
2)  , т.е.  .
Сформулируем определение
непрерывности в эквивалентной форме. С этой целью обозначим  ,  и  .
Определение. Говорят, что функция непрерывна в точке , если выполняется равенство
 .
Теорема
2. Если функции  и  непрерывны в точке , то этим же свойством обладают функции  ,  , а если  , то и функция  .
Если
мы хотим ввести понятие непрерывной функции на множестве, как функции,
непрерывной в каждой точке множества, то само определение непрерывности в точке
требует, чтобы каждая точка множества принадлежала ему (либо с некоторой своей  -окрестностью, либо как его граничная точка).
Определение.
Множество называется областью, если оно:
1) является открытым множеством, т.е. содержит
каждую свою точку вместе с некоторой своей -окрестностью; 2) является
линейно связным множеством,
т.е. для любых двух различных точек  существует ломаная, соединяющая
 и  и целиком лежащая в .
Если – область, то
множество  называют замкнутой областью.
Определение.
Говорят, что функция  непрерывна в области (или в замкнутой
области ), если непрерывна в каждой
точке этого множества.
4. Непрерывность по отдельным
переменным.
Зафиксируем переменную , полагая  , а переменной придадим произвольное
приращение  . Функция получит приращение
 ,
которое называется частным приращением функции в точке , соответствующим приращению аргумента . Заметим, что  является функцией
одной переменной . Аналогично,
 .
Определение.
Функция называется непрерывной в точке по переменной (по переменной ), если
 ( ).
В отличие
от непрерывности по отдельным переменным обычную непрерывность функции называют
иногда непрерывностью по совокупности переменных.
Теорема
3. Если функция определена в некоторой окрестности точки и непрерывна в этой
точке, то она непрерывна в этой точке по каждой из переменных.
Обратное
утверждение неверно.
Пример.
Докажем, что функция
непрерывна в точке  по каждой переменной и , но не является непрерывной в этой точке по совокупности
переменных.
Рассмотрим частное
приращение функции в точке , соответствующее приращению аргумента :
 .
Очевидно, что  , а это означает, что непрерывна в точке по переменной .
Аналогично
можно доказать непрерывность в точке по переменной .
Покажем,
что предел  не существует. Пусть
точка  стремиться к точке по прямой , проходящей через точку  . Тогда получим
 .
Таким
образом, приближаясь к точке по различным прямым, соответствующим
разным значениям , получаем разные предельные значения. Отсюда следует, что
предел данной функции в точке не существует, а
значит, функция не является
непрерывной в этой точке.
|
