|
9. Тройной интеграл. Пусть функция u = f(x,y,z) определена в ограниченной замкнутой
области ? пространства R3. Разобьём область ? произвольным
образом на n элементарных замкнутых
областей ?1, … , ?n,
имеющих объемы D?1, …, D?n соответственно. Обозначим d –
наибольший из диаметров областей ?1,
… , ?n. В каждой области ?k выберем произвольную точку
Pk (xk , yk
, zk) и составим интегральную сумму функции f(x,
y,
z)
S
= 
Определение. Тройным интегралом от функции f(x,
y,
z) по области ? называется предел интегральной суммы  , если он существует.
Тройной интеграл обозначается
(13)
Замечание. Интегральная сумма S
зависит от способа разбиения области ? и
выбора точек Pk (k=1, …, n). Однако, если существует
предел  , то он не зависит от способа разбиения области ? и выбора точек Pk . Если сравнить определения двойного и тройного
интегралов, то легко увидеть в них полную аналогию.
Достаточное условие существования тройного интеграла. Тройной интеграл (13)
существует, если функция f(x, y, z) ограничена в ? и непрерывна в ?, за
исключением конечного числа кусочно-гладких поверхностей, расположенных в ? .
В дальнейшем будем считать, что все рассматриваемые тройные интегралы
существуют.
10 Некоторые свойства тройного
интеграла.
1) Линейность. Если С –
числовая константа, то
2) Аддитивность. Если область ? разбита на области ? 1 и ? 2, то
 .
3) Объем V(?) кубируемого
тела ? равен
 (14)
11. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.
Пусть D - проекция тела ? на плоскость xOy, поверхности z=?1(x, y),
z=?2(x, y) ограничивают тело ? снизу и сверху соответственно (рис. 8). Это значит, что
? = {(x, y, z): (x,
y) D, ?1(x, y) ? z ? ?2(x,
y)} . Такое тело назовем z-цилиндрическим. Тройной интеграл (13) по z-цилиндрическому телу ? вычисляется
переходом к повторному интегралу, состоящему из двойного и определенного
интегралов:
|
Рисунок 8
Рисунок 9
|
(15)
В
этом повторном интеграле сначала вычисляется внутренний определенный интеграл
по переменной z, при этом x, y
считаются постоянными. Затем вычисляется двойной интеграл от полученной
функции по области D.
Если ? - x-цилиндрическое или y-цилиндрическое
тело, то верны соответственно формулы
В
первой формуле D - проекция
тела ? на координатную плоскость yOz, а во
второй - на плоскость xOz
Примеры. 7) Вычислить объем тела ?,
ограниченного поверхностями
z = 0,
x2 + y2 = 4, z
= x2 + y2 .
Решение. Объем этого тела вычислен в
примере 6 при помощи двойного интеграла. Здесь его вычислим при помощи тройного
интеграла по формуле (14).
Перейдем
к повторному интегралу по формуле (15). Пусть D - круг x2 + y2 ? 4, ?1(x,
y) = 0,
?2(x, y)=
x2 + y2 . Тогда по формуле (15) получим
Этот
интеграл вычислили в примере 6 и получили V(?) = 8?.
8) Тело ? ограничено поверхностями z=y,
z=
–y, x=0 , x=2, y=1. Вычислить 
Решение. Тело ? изображено на рис. 9. Плоскости z = y, z =
–y ограничивают тело соответственно снизу и сверху, плоскости
x=0 , x=2 ограничивают тело
соответственно сзади и спереди, а плоскость y=1 ограничивает справа. ? – z-цилиндрическое тело, его
проекцией D на плоскость хОу является прямоугольник ОАВС. Положим ?1(x, y)
= –y, ?2(x, y)=
y и применим
формулу (15):
 
 
|
