Кратные и криволинейные интегралы (СОДЕРЖАНИЕ)

 12. Переход к цилиндрическим координатам в тройном интеграле.        

Пусть в координатной плоскости xOy введена полярная система координат так, что луч Оr совпадает с полуосью Оx. Цилиндрическими координатами точки М называются три числа r, ?,  z,  где r, ? – полярные координаты проекции М_z  точки М на плоскость xOy, z – аппликата точки М (рис. 10). Для точек оси Оz координата ? не определена. Декартовы координаты x, y, z выражаются через цилиндрические координаты по формулам

.

            Пусть при переходе к цилиндрическим координатам тело ? преобразуется в тело ?_ц . Тогда имеет место формула

          (16)

Переход к повторному интегралу в цилиндрических координатах.

Рассмотрим z-цилиндрическое тело ? из рисунка 8. Пусть при переходе к цилиндрическим координатам множества ? и D преобразуются соответственно в ?_ц и D_ц. Тогда

      (17)

Пример. 9) Вычислить интеграл

 по телу ?, ограниченному поверхностями    z = 0,   x² + y² = 4,    z = x² + y² .

            Решение. Тело ?  изображено на рис. 7. По формуле (16) имеем

Перейдем к повторному интегралу по формуле (17). Областью D_ц является круг

{(r,?): r ? 2, 0???2?}. Так как ?₁(x, y) ? 0, то ?₁(rcos?, rsin?) ? 0. Так как ?₂(x, y) ? x² + y², то ?₂(rcos?, rsin?)= (rcos?)² +(rsin?)²=r². Следовательно, по формуле (17) получим

13. Переход к сферическим координатам в тройном интеграле.

Сферическими координатами точки М называются три числа r, ?, ?, где

     r = ОМ (r ? 0) - расстояние от начала координат до точки  М,

             ?  (0 ? ? < 2?) – угол поворота полуоси Ох вокруг О  до совпадения ее направления с направлением вектора ОМ_z,

             ?  – угол поворота вектора ОМ_z  вокруг О до совпадения его направления с направлением вектора ОМ (рис. 11).

            Декартовы координаты связаны со сферическими координатами формулами

x = rcos? cos?,  y = rsin? cos?,  z = rsin?

Заметим, что ОМ² = x²+y²+z² , поэтому в сферических координатах  x²+y²+z² = r² .

                Пусть при переходе к сферическим координатам тело ? преобразуется в ?_с. Тогда тройной интеграл (13) преобразуется по формуле

   (18)

Второй интеграл в этой формуле вычисляется переходом к повторному интегралу. Пусть ?_с={( r, ?, ?): ?₁ ?  ? ? ?₂, ?₁(?) ? ? ?  ?₂(?), r₁(?,?)  ?  r ?  r₂(?,?)}. Тогда

(19)      

Пример. 10) Вычислить объем тела ?, ограниченного поверхностью 

(x²+y² +z²)² = a³z   (a > 0).

            Решение. Как замечено выше, x² + y² + z²= r². Поэтому данная поверхность в сферических координатах задается уравнением r⁴ = a³rsin? или  Поскольку a > 0 и r ? 0, то    sin?  ? 0,   т.е.  0 ?  ?  ?  ? / 2.  Так как тело ограничено поверхностью      то 0 ? r ?  В силу того, что координата r точки данной поверхности не зависит от ?, то 0 ? ? ? 2?.  Таким образом,  ?_с={( r, ?, ?):  0 ? ? ? 2?,  0 ? ? ? ? / 2,   0 ? r ? }.

Следовательно, по формулам (14) и (19) получаем

            11) Вычислить интеграл     где ? – тело, ограниченное поверхностями x²+y² +z²=R², x²+y² =z², x=0, y=0 (x?0, y?0, z?0).

            Решение.- сфера радиуса R  с центром в начале координат. - круговой конус с осью Оу, его образующая наклонена к плоскости хОу под углом  ?/4. Так как x?0, y?0, z?0, то тело находится в первом октанте (рис. 12).

Найдем пределы изменения координат ?, ?, r.

Поскольку проекцией тела  ?  является сектор ОАВ,   то угол  ?  меняется в пределах 0 ? ? ? ? ? 2.

Пусть теперь угол ? из этого промежутка зафиксирован. Тогда точки тела ? заполняют сектор ОMN , причем отрезок ОM образует с плоскостью хОу угол  ? / 4, а ОN – угол ? / 2. Следовательно, угол ? меняется в пределах  ? / 4 ? ? ? ? / 2.

При фиксированных значениях углов ? и ? из указанных выше промежутков точка тела ? пробегает  отрезок ОР от начала координат О до точки сферы Р. Так как в точке О  координата r = 0, а в точке Р  r = R , то координата r меняется в пределах 0 ? r ? R .

            Таким образом, ?_с={( r, ?, ?): 0 ? ? ? ? ? 2,  ? ? 4 ? ? ? ? ? 2, 0 ? r ? R }. Следовательно, по формуле (19) получаем

.