Кратные и криволинейные интегралы (СОДЕРЖАНИЕ)

 14. Криволинейный интеграл 1-го рода.

Мы рассмотрим в основном криволинейные интегралы по плоским кривым. В дальнейшем под кривой будем понимать кусочно-гладкую кривую.

Пусть     L = АВ  -  незамкнутая кривая в плоскости хОу с концевыми точками А, В; z=f (x,y) - функция, определенная на кривой L. Разобьем кривую L последовательными точками

А₀=А,  А₁,  А₂,  . . .  , А_n=В

на дуги   d₁= А₀А₁, d₂= А₁А₂, . . . , d_n= А_n-1А_n.

На дуге  d_i  выберем произвольную точку М_i (t_i , s_i) (i = 1,2, . . . , n) (рис. 13). Обозначим Dl_i длину дуги d_i , а .

Составим интегральную сумму функции f (x,y) по кривой L

Определение. Предел  , если он существует, называется криволинейным интегралом 1-го рода от функции f (x,y) по кривой L и обозначается

       (20)

            В случае замкнутой кривой L выбирается произвольная точка на кривой, которая принимается за концевые точки А, В, и криволинейный интеграл 1-го рода определяется аналогично случаю незамкнутой кривой.

            Теорема (достаточное условие существования интеграла). Если функция f (x,y) непрерывна на кривой L за исключением, быть может, конечного числа точек и ограничена на L, то криволинейный интеграл 1-го рода (20) существует.

            Некоторые свойства криволинейного интеграла 1-го рода. Для криволинейных интегралов 1-го рода выполняются свойства линейности и аддитивности (см. аналогичные свойства для тройного интеграла в п. 10).

1)      ½L½=,  где ½L½- длина кривой L.

2)      Криволинейный интеграл 1-го рода (20) не зависит от ориентации кривой L. Это значит, что интеграл не зависит от того, какая из концевых точек А и В является начальной точкой кривой.

Физический смысл криволинейного интеграла 1-го рода. Пусть L - кривая с линейной плотностью массы m (х, у). Тогда масса кривой равна         

                 (21)

            Замечание. Криволинейный интеграл 1-го рода аналогично определяется и для пространственной кривой.

            15. Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода.

            Пусть кривая L задана параметрическими уравнениями

x = j (t),  y=y (t),  a ? t ?b,

где j (t), y (t) - непрерывно дифференцируемые на  отрезке [a, b ] функции. Тогда

.         (22)

Пусть кривая L задана явно уравнением

y=g (x),  a? x ?b,

где g (x)  - непрерывно дифференцируемая на  [a, b] функция. Тогда

.          (23)

            Примеры. 12) Вычислить интеграл , где L- часть окружности x² + y² = 4, расположенная в первой четверти координатной плоскости.

Решение. Параметрическое уравнение данной кривой L имеет вид x = 2cost ,  y=2sint,  0 ? t ?p/2. Положив

 применим формулу (22). Сначала вычислим

=

Далее .

Теперь по формуле (22) имеем

            13) Вычислить массу части параболы  y² =4х от точки  О(0, 0) до точки А(4, 4), если ее линейная плотность равна m (х, у) = у.

Решение. Кривая ОА приведена на рис.15. Положим

По формуле (23) имеем

            16. Криволинейный интеграл 2-го рода.

Рассмотрим ориентированную незамкнутую кривую L = АВ в плоскости хОу с началом в точке А и концом в точке  В; z=f (x,y) - функция, определенная на кривой L. Разобьем кривую L последовательными точками

А₀=А, А₁, А₂, . . . , А_n=В

на дуги  d₁= А₀А₁, d₂= А₁А₂, . . . , d_n= А_n-1А_n и на дуге d_i  выберем произвольную точку  М_i(t_i , s_i)  (i = 1, 2, . . . , n) (рис. 16). Обозначим Dx_i = x_i - x_i-1 , Dy_i = y_i - y_i-1, а d -наибольшую из длин дуг d_i (i = 1,2, . . . , n).

Составим интегральную сумму функции f (x,y) по кривой L относительно х

Определение. Предел  , если он существует, называется криволинейным интегралом 2-го рода от функции f (x,y) по кривой L относительно х и обозначается

         (24)

            В случае замкнутой кривой L выбирается произвольная точка на кривой, которая принимается за концевые точки А, В, и криволинейный интеграл 2-го рода определяется аналогично случаю незамкнутой кривой.

            Теорема (достаточное условие существования интеграла). Если функция f (x,y) непрерывна на кривой L за исключением, быть может, конечного числа точек и ограничена на L, то криволинейный интеграл 2-го рода (24) существует.

Некоторые свойства криволинейного интеграла 2-го рода. Для криволинейных интегралов 2-го рода выполняются свойства линейности и аддитивности (см. аналогичные свойства для тройного интеграла в п. 10).

Свойство антиориентированности

.

Это свойство связано с тем, что при изменении направления обхода кривой все приращения Dx_i  и, следовательно, интегральная сумма S_x  изменяют знак.

Аналогично определяется криволинейный интеграл 2-го рода от функции g(x,y) по кривой L относительно у

,

где  .

            Пусть на ориентированной кривой L определены две функции  f (x, y)  и  g (x, y). Тогда сумма интегралов (24) и (25) называется общим криволинейным интегралом 2-го рода от функций f (x,y)  и  g (x,y) по кривой L и обозначается

         (26)

Физический смысл криволинейного интеграла 2-го рода. Пусть

 - сила, действующая на материальной точку М(x, y)   ориентированной кривой L. Тогда работа, совершаемая силой при перемещении точки М вдоль ориентированной кривой L, равна

       (27)

Замечание. Криволинейный интеграл 2-го рода аналогично определяется и для пространственной ориентированной кривой.

Площадь плоской фигуры.  Пусть простая замкнутая кривая3 L ориентирована “против часовой стрелки”, D - область, ограниченная кривой L. Тогда площадь области D равна

            (28)

17. Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода.

Пусть ориентированная кривая L задана параметрическими уравнениями

x = j (t),  y=y (t),  a ? t ?b,

где j (t), y (t) - непрерывно дифференцируемые на отрезке [a, b ] функции. Тогда

.      (29)

Пределы интегрирования выбираются в соответствии с ориентацией кривой L: если ориентации кривой L соответствует изменение параметра t от a до b, то в формуле (29) выбирается первый вариант пределов интегрирования. В противном случае в (29) нужно выбирать вариант пределов интегрирования в скобках.

Пусть кривая L задана явно уравнением   y=h(x),  a? x ?b, где h (x) - непрерывно дифференцируемая на отрезке [a, b] функция. Тогда

.        (30)

Пределы интегрирования выбираются в соответствии с ориентацией кривой L, как в формуле (29).

Пусть кривая L задана явно уравнением  x=h(y),  a? y ?b, где h (y) - непрерывно дифференцируемая на отрезке [a, b] функция. Тогда

.       (31)

Пределы интегрирования выбираются в соответствии с ориентацией кривой L, как в формуле (29).

            Примеры.   14) Вычислить работу силы  , приложенной к точке М(x, y) при перемещении точки вдоль кривой x = 2cost , y=2sint, 0 ? t ?p/2 от точки (0, 2) до точки (2, 0).

            Решение. Данная кривая - это дуга ВА из рис. 14. По формуле (27) искомая работа равна

Положим   и применим формулу (29). При этом учтем, что при движении по кривой от точки В до точки А параметр t изменяется от p/2 до 0.

            15) Вычислить , где кривая ОА дана на рис. 15.

Решение. Кривая ОА задается уравнением  Положив ,

применим  формулу (29), при этом учтем тот факт, что при движении по кривой от точки О до А переменная x меняется от 0 до 4.

            16) Вычислить  где L - замкнутая кривая ОВАО из рис. 15.

Решение. Кривая L состоит из линий ОВ,  ВА и  АО. По свойству аддитивности

.          (32)

Отрезок ОВ задается уравнением у = 0 при 0 ? х ? 4. Значит, dy = 0.Тогда по формуле (30)

.

Отрезок ВA задается уравнением х = 4 при 0 ? у ? 4. Тогда dх = 0 и по формуле (31) имеем

.

Кривая АО задается уравнением    при изменении значения у  от  4 до 0. Значит,  и по формуле (31) получаем

.

            Подставив вычисленные интегралы в (32), получаем

            Замечание. По формуле (28) видно, что вычисленный интеграл равен удвоенной площади области, ограниченной контуром ОВАО.