1. Записать двойной интеграл от функции f(x,y) по области D, ограниченной прямой y=x и параболой y=x², в виде повторных интегралов двумя способами (по формулам (5) и (7)).

Рисунок 17

Решение. На рисунке 17 изображена область интегрирования D. Для вычисления двойного интеграла по этой области можно воспользоваться как формулой (5), так и формулой (7), т.к. граница области D пересекается не более, чем в двух точках как прямыми, параллельными оси Ох, так и прямыми, параллельными оси Оу.

Применим формулу (5), т.е. внутренний интеграл берем по y, считая x постоянным, а внешний интеграл – по x. Область D находится в полосе между прямыми x = 0 и x = 1, следовательно, 0 £ x £ 1. Чтобы найти пределы изменения для y, поступим так: возьмём на оси Ох произвольную точку xÎ(0,1) и проведём через неё прямую, параллельную оси Оу в направлении этой оси. Она пересекает границу области D сначала в точке С, затем в точке В (рис. 17). У точки С ордината y = x², у точки В ордината y = x , т.е. x² £ y £ x. Таким образом,

D = {(x, y): 0 £ x £ 1, x²£ y £ x}. Тогда, согласно (5), имеем:

Применим к этому двойному интегралу формулу (7). В этом случае внутренний интеграл берём по переменной x, считая y постоянным, а внешний – по y Область D находится в полосе между прямыми y = 0 и y = 1, следовательно, 0 £ y £ 1. Для того, чтобы установить пределы изменения переменной x, возьмём на оси Оу произвольную точку yÎ(0,1) и проведём через неё прямую, параллельную оси Ох в направлении этой оси. Т.к. точка B₁входа этой прямой в область D имеет абсциссу x = y, а точка C₁ выхода этой прямой из области D имеет абсциссу

, то переменная x меняется от y до

. Значит

D = {(x, y): 0£ y£1, y £ x £ }. Следовательно, согласно (7), имеем

2. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле

Решение. В отличие от задачи 1), здесь не дана область интегрирования D, и мы должны выяснить её вид по пределам интегрирования повторных интегралов. Обозначим D₁ - область интегрирования первого повторного интеграла, D₂- область интегрирования второго повторного интеграла. Т.к. внутренние интегралы берутся по x, то их пределы показывают, какими линиями области D₁ и D₂ ограничены справа и слева. Область D₁ задаётся неравенствами 0 ? y ? 1, 0 ? x?

, т.е. D₁ = {(x, y): 0 ? y ? 1, 0 ? x?

}. Соответственно, область D₂ задаётся неравенствами 1 ? y ? e, lny ? x? 1, т.е. D₂ = {(x, y): 1 ? y ? e, lny ? x? 1}. Очевидно, D = D₁È D₂ (рис.18). Область D расположена в вертикальной полосе между прямыми x = 0, x = 1 и между линиями y = x², y = е^х. Это значит, что D = {(x, y): 0 ? x ? 1, x² ? y? е^х}. Тогда по формуле (5) получаем

Рисунок 18 Рисунок 19

5. Вычислить: I=

, где D ограничена прямыми y=x и x=2 и гиперболой xy=1.

Решение. Область интегрирования изображена на рисунке 19. Решая систему, состоящую из уравнений прямой y=x и гиперболы xy=1, получим координаты точки их пересечения А(1,1). Для вычисления интеграла по области D удобно воспользоваться формулой (5). Пределы внешнего интеграла по x – это абсциссы самой левой и самой правой точек области D , т.е. 1 и 2. При 1 £ x £ 2, y будет изменяться от 1/x до x. Следовательно,

Рисунок 20

Если применить формулу (7), то вычисления будут более громоздкими.

6. Вычислить I =

где D - область, ограниченная линиями x=0, y =, y =2x.

Решение. Найдём абсциссу точки пересечения прямых y=2x и y=: =2x Þ x = Область интегрирования D изображена на рисунке 20.

7. Вычислить:

, где D - область, ограниченная линиями x=0, y=0, x+y =3.

Решение. Предлагаем студенту самостоятельно построить область интегрирования. Она имеет вид D = {(х; y): 0 £ x £ 3 , 0£ y £ 3 - x }. Следовательно, по формуле (5) получаем

В некоторых случаях, когда область интегрирования D есть круг, или часть круга, или когда подынтегральная функция содержит в себе двучлен вида x²+y², вычисление двойного интеграла упрощается при переходе к полярным координатам (см. формулы (9) - (12)). При этом двучлен x²+y² преобразуется в r².

Решение. Представим уравнение окружности x²+y²=4 в полярных координатах. По формулам (9) имеем: x²+y²= 4 Û r ²cos²j +r ²sin ²j = 4 Û r²= 4 Þ r= 2.

Рисунок 21

Расставим пределы интегрирования в повторном интеграле. Областью интегрирования является полукруг (рисунок 21,а). Все точки этого полукруга будут охвачены, если угол j поворачивать от j = 0 до j = p. Значит, при любом 0 £ j £ p, полярный радиус r будет изменяться от 0 до 2.Таким образом, S = {(r, j): 0 £ j £ p, 0 £ r £ 2}. Cледоватеньно, по формулам (11) и (12) получим

9. Вычислить

, где P - кольцо между окружностями радиусов е и 1 с центром в начале координат.

Решение. На рисунке 21,б изображена область P. x²+y²=1, x²+y²=e² – уравнения заданных окружностей в декартовых координатах, а в полярной системе эти окружности задаются формулами r = 1 и r = е. Следовательно, Р={(r,j): 0 £ j £ 2p, 1 £ r £ е}. Тогда по формулам (11) и (12) получим

11. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y²= 4 x + 4 , y = 2 – x.

Решение. Данная фигура изображена на рисунке 22,а. Решая систему уравнений

Рисунок 22

y²= 4 x + 4, y = 2 – x, найдём точки пересечения линий: (2 - x)²= 4x + 4 Û 4 - 4 x+ x²= 4x+4

Û x²-8 x = 0, x₁=0, x₂=8, у₁=2, у₂=-6. Т.о., линии пересекаются в точках A(0,2), B(8,6). Тогда D = {(х, у): - 6 £ у £ 2, (у²- 4)/4 £ х £ 2 - у}. По формуле (7) имеем

11. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией (х²+ у²)²=а²(4х²+ у²), а>0.

Решение. Очевидно, что кривая симметрична относительно оси Ох, оси Оу и начала координат. Перейдём к полярным координатам по формулам (9):

Построим график кривой (рисунок 22,б). В силу симметрии, вся площадь S=4S1, где S1 = S(D1), D1={(r,j): 0 £ j £ p/2, 0 £ r £ a

}. Следовательно,

Прежде чем перейти к примерам на вычисление объёмов, заметим, что при вычислении объёма какого-нибудь тела полезно сделать пространственный рисунок, который давал бы представление о форме данного тела. Если же такого рисунка не удаётся построить, то можно ограничиться хотя бы рисунком, изображающим только область интегрирования на плоскости xOy. Однако и в этом случае необходимо представить себе, хотя бы в самых общих чертах, то тело, объём которого требуется найти.

12. Вычислить объём тела, ограниченного параболоидом вращения z=x²+y², координатными плоскостями и плоскостью x+y =1.

Решение. Поверхность параболоида вращения z=x²+y² получается вращением вокруг оси Oz параболы z=x². Уравнение x+y =1 в пространстве определяет плоскость, параллельную оси Oz и проходящую через прямую x+y =1 в плоскости хОу. На рисунке 23,а изображено тело, объём которого надо вычислить. Это тело сверху ограничено вогнутой поверхностью параболоида z=x²+y², снизу – плоскостью хОу, спереди - плоскостью x+y =1, слева - плоскостью хОу (y =0), сзади - плоскостью уОz (x = 0). Т.к. данное тело цилиндрическое, то для вычисления его объёма можно использовать формулу (2):

Рисунок 23

где D = {(x,y): 0£ x£1, 0£ y£1- x} – прямоугольный треугольник. Следовательно,

13. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями z=2–x–y, y=x², y=x, z=0.

Решение. Поверхность y=x² – это параболический цилиндр с образующей, параллельной оси Oz, и направляющей параболой y=x² в плоскости xOy. Наклонная плоскость z = 2 – x – y отсекает на осях координат равные отрезки (по две единицы длины). Плоскость y =x проходит через ось Oz и прямую y =x в плоскости xOy. z = 0 – уравнение плоскости xOy. Тело, ограниченное этими поверхностями, изображено на рисунке 23,б. Т.к. данное тело цилиндрическое и z=2 – x – y, то для вычисления его объёма можно использовать формулу (2)

Студенту рекомендуется самостоятельно разобраться, как получаются пределы интегрирования во внутреннем и внешнем интегралах.

14. Вычислить объём тела, ограниченного гиперболическим параболоидом z = xy и плоскостями x + y =а, z=0.

Решение. Заданное тело изображено на рисунке 24,а. На рисунке 24,б изображена проекция этого тела на плоскость xOy.

Рисунок 24

Кратные и криволинейные интегралы (СОДЕРЖАНИЕ)

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Двойные интегралы