1. Теория пределов
1.1
Супремум
и инфимум
Определение 1. Множество {x}, элементами которого являются числа, называется числовым
множеством.
Определение
2. Множество вещественных чисел {x} называется ограниченным сверху (снизу), если существует число M ( m ) такое, что  x £ M ( x ³ m).
Число M называется верхней
гранью числового множества {x}. Аналогично, число m называется
нижней гранью числового множества {x}.
Верхних (нижних) граней бесконечно
много, так как любое число, большее M (меньшее
m), есть также верхняя (нижняя) грань.
Определение
3. Наименьшая из верхних граней называется точной верхней гранью или супремумом
числового множества {x} (обозначение sup{x}).
Наибольшая из нижних граней называется точной нижней гранью или инфимумом числового множества {x} (обозначение inf{x}).
Более точно, эти понятия выражаются
следующими свойствами:
|
Супремум
sup{x}
1.  .
2.  .
|
Инфимум
inf{x}
1.  .
2.  .
|
Заметим, что sup{x} и inf{x} могут как
принадлежать, так и не принадлежать числовому множеству {x} .
Теорема
о существовании супремума и инфимума числового множества.
Если числовое множество {x} не пусто и ограничено сверху, то у него существует sup{x}.
Если числовое множество {x} не пусто и ограничено снизу, то у него существует inf{x}.
1.2
Последовательности
Определение 1. Числовой
последовательностью (в дальнейшем просто последовательностью) называется упорядоченное счетное множество чисел
{x1,
x2, x3, ... }.
Обратите внимание на два момента.
1. В последовательности бесконечно
много чисел. Если чисел конечное число – это не последовательность!
2. Все числа упорядочены, то есть расположены в определенном
порядке.
В дальнейшем для последовательности
часто будем использовать сокращенное обозначение {xn}.
Над последовательностями можно
производить определенные операции. Рассмотрим некоторые из них.
1. Умножение
последовательности на число.
Последовательность c×{xn} – это последовательность с элементами {c×xn}, то есть
c×{x1, x2, x3, ... }={c×x1,
c×x2, c×x3,
... }.
2. Сложение и вычитание
последовательностей.
{xn}±{yn}={xn±yn},
или, более
подробно,
{x1, x2, x3, ... }±{y1, y2, y3, ... }={x1± y1, x2± y2, x3± y3, ... }.
3. Умножение последовательностей.
{xn}×{yn}={xn×yn}.
4. Деление
последовательностей.
{xn}/{yn}={xn/yn}.
Естественно,
предполагается, что в этом случае все yn¹0.
Определение
2.
Последовательность {xn} называется ограниченной сверху, если    .
Последовательность {xn} называется
ограниченной снизу, если   .
Последовательность {xn} называется
ограниченной, если она одновременно
ограничена и сверху и снизу.
1.3
Предел
последовательности.
Основное определение. Число a называется пределом последовательности {xn} при n стремящимся к
бесконечности, если
 .
Для этого факта
используют следующие обозначения:
 или  .
Подчеркнем, что N зависит от e.
Варианты
определения.
Говорят,
что  , если  .
Говорят, что  , если  .
Последовательность {xn} называется бесконечно большой, если  (то есть, если  ).
1.4 Бесконечно малые последовательности.
Оределение. Последовательность
{xn} называется бесконечно малой, если  , то есть если  .
Бесконечно малые последовательности
имеют следующие свойства.
1. Сумма и разность бесконечно малых последовательностей есть также
бесконечно малая последовательность.
2. Бесконечно малая последовательность ограничена.
3. Произведение
бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть
бесконечно малая последовательность.
4. Если {xn} – бесконечно большая
последовательность, то, начиная с некоторого N,
определена последовательность {1/xn}, и она
есть бесконечно малая последовательность. Наоборот, если {xn}
– бесконечно малая последовательность и все xn отличны от нуля, то {1/xn}
есть бесконечно большая последовательность.
1.5 Сходящиеся
последовательности.
Определение. Если существует конечный предел , то последовательность {xn}
называется сходящейся.
Сходящиеся последовательности имеют следующие свойства.
1. Сходящаяся последовательность ограничена.
2.  .
3.  .
4.  .
5. Если  , то  .
1.6 Предельный переход в неравенствах.
Теорема 1. Если, начиная с
некоторого N, все xn ³ b, то  .
Следствие. Если, начиная с
некоторого N, все xn ³ yn, то  .
Важное замечание. Заметьте,
что если, начиная с некоторого N, все xn > b, то , то есть при предельном переходе строгое неравенство
может перейти в нестрогое.
Теорема 2. («Теорема о двух
милиционерах») Если, начиная с некоторого N, выполнены следующие
свойства
1.  ;
2.  ,
то существует  .
1.7 Предел монотонной последовательности.
Определение.
Последовательность {xn} называется
монотонно возрастающей, если для
любого n xn+1
³ xn.
Последовательность {xn} называется
строго монотонно возрастающей, если
для любого n xn+1
> xn.
Оба этих случая объединяют символом xn.
Последовательность {xn} называется
монотонно убывающей, если для любого
n xn+1
£
xn.
Последовательность {xn} называется
строго монотонно убывающей, если для
любого n xn+1
< xn.
Оба этих случая объединяют символом xn¯.
Теорема о существовании
предела монотонной последовательности.
1. Если
последовательность {xn} монотонно возрастает
(убывает) и ограничена сверху (снизу),
то у нее существует конечный предел, равный sup{xn} ( inf{xn} ).
2 Если последовательность
{xn} монотонно возрастает (убывает), но сверху (снизу) не ограничена, то у
нее существует предел, равный +¥ ( -¥ ).
На основании этой теоремы доказывается, что существует так называемый замечательный предел
1.8 Подпоследовательности
Пусть имеется некоторая
последовательность {xn}={x1,
x2, x3, ... }.
Рассмотрим последовательность n1, n2,
n3, ... , где
а) все ni - целые положительные числа;
б) ni+¥
и рассмотрим
последовательность  . Она называется подпоследовательностью последовательности {xn}.
Теорема.
Если последовательность {xn} сходится и
ее предел равен a, то любая ее подпоследовательность
также сходится и имеет тот же самый предел.
Если {xn} – бесконечно большая
последовательность, то любая ее подпоследовательность есть также бесконечно
большая.
Лемма Больцано- Вейерштрасса.
1. Из любой ограниченной последовательности
можно извлечь такую подпоследовательность, которая сходится к конечному
пределу.
2. Из любой неограниченной последовательности
можно извлечь бесконечно большую подпоследовательность.
На основании этой леммы доказывается
один из основных результатов теории пределов –
Признак сходимости Больцано-Коши.
Для того, чтобы у последовательности {xn}
существовал конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы
 .
Последовательность,
удовлетворяющая этому свойству, называется фундаментальной
последовательностью, или последовательностью, сходящейся в себе.
1.9 Предел
функции
Основное
определение. Число b называется предельным значением (пределом) функции f(x) при x стремящимся к a (обозначение  или  ), если
 .
Варианты
определения.
Число
b называется предельным
значением (пределом) функции f(x) при x стремящимся к +¥ (обозначение  ), если
 .
Говорят, что функция f(x) стремится к +¥ при x стремящимся к a (обозначение  ), если
 .
И так далее.
Односторонние
пределы. Число b есть предел слева (справа) функции f(x) при x
стремящимся к a, если
( ).
Обозначение  ( ).
Если  ,то существует  . Верно и обратное утверждение.
Теорема,
устанавливающая связь понятий предела функции и предела последовательности.
Для того, чтобы существовал  необходимо и
достаточно, чтобы для любой последовательности
{xn}, у которой  существовал 
Свойства
предельных значений.
Предельные значения имеют такие же
свойства, что и предел последовательности:
 ,
 ,
 ,
 , если  .
1.10 Предел
монотонной функции
Функция f(x) называется
монотонно
возрастающей, если из x1>x2 следует f(x1)³ f(x2);
строго монотонно
возрастающей, если из x1>x2 следует f(x1)> f(x2).
Оба эти случая
объединяют символом f(x).
Функция f(x) называется
монотонно
убывающей, если из x1>x2 следует f(x1)£ f(x2);
строго монотонно
возрастающей, если из x1>x2 следует f(x1)< f(x2).
Оба эти случая
объединяют символом f(x)¯.
Теорема.
Если
f(x) при x<a и ограничена сверху то
существует конечный  .
Если f(x)
при x<a но сверху не ограничена, то  .
Аналогичные формулировки имеют место и
для монотонно убывающей функции.
1.11 Признак
Больцано-Коши существования предела функции.
Теорема.
Для того, чтобы при x стремящимся к a существовал конечный
 , необходимо и достаточно, чтобы
 .
Эта теорема является одной из важнейших
теорем теории пределов.
1.12 Сравнение
бесконечно малых и бесконечно больших величин
Определение.
Функция f(x)
называется бесконечно малой при x®a, если  .
Пусть a(x) и b(x) – две бесконечно малые при x®a. Тогда
1. Если существует  и  ,  ¸ то говорят, что a(x) и b(x) – бесконечно малые одного
порядка.
Обозначение: a=O(b) или
b=O(a).
2. Если  (или, что то же
самое,  ), то говорят, что a(x) есть
бесконечно малая более высокого порядка,
чем b(x).
Обозначение a=o(b).
3. Если  не существует, то говорят, что a(x) и b(x) несравнимы.
Имеется стандартная бесконечно
малая величина b(x)=x – a. Тогда, если существует  , то говорят, что a(x) является
бесконечно малой k-го
порядка, и обозначают это так
 .
Слагаемое  называется главной частью a(x).
Определение.
Функция f(x)
называется бесконечно большой при x®a, если  .
Пусть A(x) и B(x) – две бесконечно большие при x®a. Тогда
1. Если существует  и , ¸ то говорят, что A(x) и B(x) – бесконечно большие одного порядка.
2. Если  (или, что то же
самое,  ), то говорят, что A(x) есть
бесконечно большая более высокого
порядка, чем B(x).
3. Если  не существует, то говорят, что A(x) и B(x) несравнимы.
Имеется стандартная бесконечно
большая величина  . Тогда, если существует  и , ¸ то говорят, что A(x) есть
бесконечно большая k-го
порядка и записывают это следующим образом:
 .
(Знак ~ читается
«асимптотически равно»).
|
