Математический анализ - лекции (СОДЕРЖАНИЕ)

           11. Функциональные ряды

         11.1 Равномерная сходимость функционального ряда

         Пусть  – функции комплексной переменной z. Ряд

носит название функционального ряда.

         Важнейшим понятием для теории таких рядов является понятие равномерной сходимости.

         Пусть сказано «функциональный ряд сходится в области G». Что это значит? Это значит, что он сходится в каждой точке этой области, то есть

.

Самым неприятным является тут то, что  зависит не только от e, но  и от z. Из-за этой зависимости ряд может иметь очень неприятные свойства. Желание избавится от z и приводит к понятию равномерной сходимости функционального ряда.

         Определение. Говорят, что функциональный ряд сходится равномерно в области G, если

.

Обратите внимание на то, куда переместился квантор  и на то, что теперь  зависит только от e.

         Равномерно сходящиеся ряды обладают очень хорошими свойствами, которые будут описаны ниже.

         Признак Вейерштрасса. Если существуют такие неотрицательные числа , что

         1. , ;

         2. ,

то ряд  сходится равномерно в области G.

         11.2 Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов

         Не давая точных формулировок, перечислим свойства равномерно сходящихся функциональных рядов.

         1. Если все  непрерывны в области G, то сумма ряда  есть также непрерывная области G функция.

         2. Если все  аналитичны в области G, то сумма ряда  есть также аналитическая в области G функция.

         3. Если ряд  сходится равномерно в области G, то в нем допустим почленный переход к пределу, то есть

.

         4. Если ряд  сходится равномерно в области G, то его можно почленно интегрировать, то есть

.

         5. Если ряд  сходится равномерно в области G, то его можно почленно дифференцировать любое число раз, то есть

.

         11.3 Степенные ряды

         11.3.1 Определение степенного ряда. Область сходимости

         Рассмотрим теперь важнейший частный случай функционального ряда – так называемый степенной ряд. Он получается, когда   и имеет вид

.

Здесь а и  - комплексные числа.

         Прежде всего, выясним вопрос об области сходимости степенного ряда.

         Теорема. Для всякого степенного ряда существует такое число , что степенной ряд сходится при  и расходится при .

         Таким образом, область сходимости степенного ряда есть круг с центром в точке а радиуса R, который называется кругом сходимости (см. рис 11.1). Число R называется радиусом сходимости ряда.

         Отметим еще, что общего ответа на вопрос о сходимости степенного ряда на границе круга сходимости, то есть при , дать нельзя. В каждом конкретном случае этот вопрос надо рассматривать отдельно.

         Заметьте еще, что при R=0 степенной ряд сходится только в точке z=a; при R=+¥ степенной ряд сходится на всей плоскости.

Рис. 11.1 Вид области сходимости степенного ряда

         11.3.2 Нахождение радиуса сходимости ряда

         Важнейшая характеристика степенного ряда – его радиус сходимости – находится одним из следующих способов.

         1. Если существует , то .

         2. Если существует, то .

         3. Пусть . Тогда . Эта формула носит название формулы Коши-Адамара и она работает всегда.

         11.3.3 Свойства суммы степенного ряда

         Ниже перечислены основные свойства суммы степенного ряда.

         1. Для любого  степенной ряд сходится равномерно в круге .

Примечание. r может быть сколь угодно близко к R, но r ¹R !

         2. В круге  сумма степенного ряда есть непрерывная функция от z.

         3. При почленном интегрировании и дифференцировании радиус сходимости степенного ряда не меняется.

         4. В круге  степенной ряд можно почленно интегрировать любое число раз.

         5. В круге  степенной ряд можно почленно дифференцировать любое число раз.

         11.3.4 Разложение функций в ряд Тейлора

         Теорема 1. Пусть  является аналитической функцией в круге . Тогда внутри этого круга она может быть представлена в виде ряда

,

который сходится равномерно в любом круге .

         Этот ряд называется рядом Тейлора функции .

         Теорема 2. Любой степенной ряд является рядом Тейлора своей суммы.

         Таким образом, других степенных рядов, кроме ряда Тейлора, не существует.

         11.4 Ряды Лорана

         11.4.1 Определение. Область сходимости

         При разложении функций в ряд Тейлора участвовали только положительные степени бинома . А почему бы не использовать и отрицательные?

         Ряды вида

называются рядами Лорана. Фактически они состоят из двух рядов

.

Первый ряд – по положительным степеням  – называется правильной частью ряда Лорана, а второй ряд – по отрицательным степеням  - главной частью ряда Лорана.

         Для сходимости ряда Лорана надо, чтобы сходилась и его правильная часть, и его главная часть. Это приводит к тому, что область сходимости ряда Лорана является кольцом (см. рис. 11.2).

Рис. 11.2 Область сходимости ряда Лорана

Радиусы сходимости этого кольца выражаются формулами

.

Заметим, что если , но в ряде Лорана есть главная часть, то он сходится в области , которая называется «круг с выколотым центром», так как в точке z = a ряд расходится.

         11.4.2 Свойства суммы ряда Лорана

         Свойства суммы ряда Лорана аналогичны свойствам суммы степенного ряда. Они следующие.

         1. Пусть  и  такие, что . Тогда в кольце  ряд Лорана сходится равномерно и его сумма является непрерывной функцией.

         2. При почленном дифференцировании и интегрировании ряда Лорана радиусы его кольца сходимости не меняются.

         3. В кольце  ряд Лорана можно почленно интегрировать и дифференцировать любое число раз.

         11.4.3 Выражение для коэффициентов ряда Лорана через его сумму

         Обозначим сумму ряда Лорана через :

.

Тогда имеет место формула

,

что и дает явное выражение для коэффициентов ряда Лорана. Здесь G – любой контур, лежащий внутри кольца сходимости и охватывающий его «дырку».