13. Преобразования Лапласа и
Фурье
13.1 Преобразование
Лапласа – определение и формула обращения
Преобразование
Лапласа является одним из самых мощных
инструментов для решения очень многих прикладных задач в области теории
управления, теории массового обслуживания
и т.д. Часто задача считается решенной, если получено преобразование
Лапласа от искомой функции.
Рассмотрим функцию  вещественной переменной х. Будем считать, что на эту функцию
наложены следующие ограничения:
1.  при  ;
2. Существуют такие постоянные М и  , что  . Константа называется показателем роста функции .
Преобразованием Лапласа от функции называется
функция
от комплексной переменной  .
Саму функцию часто называют оригиналом, а функцию  - ее изображением.
Изображение определено в
полуплоскости  и является в
этой полуплоскости аналитической функцией.
Самым принципиальным является то, что
не только однозначно определяет
, но и наоборот, однозначно
определяет . Это соответствие дается так называемой формулой обращения или формулой Меллина. Она имеет вид
 .
 .
Таким
образом, существует взаимно однозначное соответствие  . И хотя формула Меллина не является рабочей формулой –
для вычисления оригинала  по изображению  обычно
пользуются специальными таблицами и свойствами преобразования Лапласа – ее
значение именно в гарантии этого взаимно
однозначного соответствия .
13.2 Свойства
преобразования Лапласа
В
приводимых ниже формулах и  являются
преобразованиями Лапласа от функций и  соответственно.
1. Линейность.
 .
2. Теорема подобия.
 .
3. Дифференцирование оригинала.
 .
Именно это свойство и обеспечило такую популярность преобразованию
Лапласа: оно операцию дифференцирования оригинала
заменяет операцией умножения изображения на p. Это, конечно, сильно упрощает решение задач, где есть
производные.
4. Дифференцирование
изображения.
 .
5. Интегрирование оригинала.
 .
Наряду со свойством 3, это свойство
является основным для приложений преобразования Лапласа, так как оно заменяет
сложную операцию интегрирования оригинала операцией деления изображения на p.
6. Интегрирование изображения.
 .
7. Теорема запаздывания.
 .
8. Теорема смещения.
 .
9. Теорема умножения.
 .
Комбинация  называется сверткой функций и и обозначают
символом  . Эта операция также встречается очень часто при
решении прикладных задач, и преобразование Лапласа позволяет заменить операцию свертки двух оригиналов операцией умножения их изображений.
10. Предельные соотношения.
 .
13.3 Преобразование Фурье – определение
и формула обращения
Кроме преобразования Лапласа, широкое
применение находит также еще одно интегральное преобразование, которое носит
название преобразования Фурье.
Пусть есть функция
вещественной переменной х,
определенная на всей прямой  . Основное ограничение, накладываемое на эту функцию,
имеет вид
 ,
то есть эта
функция абсолютно интегрируема на всей числовой оси. Кроме этого, требуется,
чтобы  при  .
Преобразованием
Фурье  от функции называется
функция
 .
Она существует
при любых w.
Как и в случае преобразования Лапласа
оказывается, что не только  однозначно
определяется функцией , но и наоборот, однозначно определяется
, то есть имеется взаимно однозначное соответствие  . Это соответствие дается формулой обращения, которая имеет вид
 .
В ней
несобственный интеграл понимается в смысле главного значения. Сама формула
носит название обратного преобразования
Фурье.
13.4 Свойства
преобразования Фурье
Пусть и  есть
преобразования Фурье от функций и соответственно,
то есть и  .
1. Линейность.
 .
2. Теорема подобия.
3. Теорема о сдвиге.
 .
4. Формула смещения.
 .
5. Дифференцирование функции.
 .
6. Дифференцирование преобразования Фурье.
Если  , то
 .
7. Свертка функций.
Пусть
функции и определены для  . Сверткой
этих двух функций называется интеграл
 ,
который
обозначается .
Соответствующее свойство преобразования
Фурье имеет вид
 .
|
